Les polynômes

I. Polynômes : définition, égalité et opérations

Activité

On considère un parallélépipède rectangle dont les dimensions sont \(x\), \(x + 3\) et \(x + 5\), où \(x\) est un réel strictement positif. Calculer le volume \(V(x)\) de ce parallélépipède.

Réponse.

\[\begin{aligned} V(x) &= x(x + 3)(x + 5) \\ &= x(x^{2} + 8x + 15) \\ &= x^{3} + 8x^{2} + 15x \end{aligned}\]

L’expression \(V(x) = x^{3} + 8x^{2} + 15x\) est appelée polynôme (ou fonction polynôme) de degré \(3\). On écrit \(\deg(V) = 3\) ou \(d^{\circ}V = 3\).

1. Définition d’un polynôme

Définition

On appelle polynôme (ou fonction polynôme) toute expression \(P(x)\) de la forme :

\[\begin{aligned} P(x) &= a_n x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} \\ &\quad + \cdots + a_1 x + a_0 \end{aligned}\]

où \(n\) est un entier naturel et \(a_n, a_{n-1}, \ldots, a_1, a_0\) sont des nombres réels, appelés coefficients du polynôme \(P\).

• Si \(a_n \neq 0\), l’entier \(n\) est le degré du polynôme \(P\). On le note \(d^{\circ}P\) : \(d^{\circ}P = n\).

• Si tous les coefficients sont nuls, \(P\) est le polynôme nul ; il n’a pas de degré.

Exemple

On considère l’expression \(P(x) = -5x^{4} + 3x^{2} + 4x - 7\).

\(P(x)\) est un polynôme de degré \(4\) : on écrit \(d^{\circ}P = 4\).

Ses coefficients sont \(-5\), \(0\), \(3\), \(4\) et \(-7\), car on peut écrire :

\[\begin{aligned} P(x) &= -5x^{4} + 0x^{3} + 3x^{2} \\ &\quad + 4x - 7 \end{aligned}\]

Remarque

Soit \(a\) un nombre réel non nul.

• Un polynôme de degré \(1\), de la forme \(P(x) = ax + b\), est appelé binôme.

• Un polynôme de degré \(2\), de la forme \(P(x) = ax^{2} + bx + c\), est appelé trinôme.

• Une constante non nulle \(P(x) = a\) est un polynôme de degré \(0\).

Exemples

\(P(x) = 2x - 3\) est un binôme ; \(Q(x) = -3x^{2} + 2x + 4\) est un trinôme.

Application 1

1) Donner l’expression du polynôme \(P(x)\) de degré \(5\) dont les coefficients, rangés suivant les puissances décroissantes de \(x\), sont \(2\), \(0\), \(-1\), \(0\), \(3\) et \(-4\).

2) Parmi les expressions suivantes, préciser celles qui sont des polynômes et donner leur degré (\(m\) est un nombre réel) :

\(P(x) = \dfrac{2}{3}x^{4} - \sqrt{3}\,x^{2} + 1\)

\(Q(x) = x^{3} - 2x + \dfrac{1}{x}\)

\(R(x) = 3|x|^{3} - x + 2\)

\(S(x) = (m - 2)x^{3} + x^{2} - 5\)

2. Égalité de deux polynômes

Propriété

Deux polynômes non nuls \(P\) et \(Q\) sont égaux si et seulement si :

• ils ont le même degré ;

• les coefficients de leurs termes de même degré sont égaux.

Autrement dit, si \(P(x) = a_n x^{n} + \cdots + a_1 x + a_0\) et \(Q(x) = b_n x^{n} + \cdots + b_1 x + b_0\), alors \(P = Q\) signifie :

\[a_n = b_n\,;\ \ldots\,;\ a_1 = b_1\,;\ a_0 = b_0\]

Exemple

Étudions l’égalité des polynômes \(P(x) = 4x^{3} + 3x^{2} - 4x + 1\) et \(Q(x) = 3x^{2} + x^{3} - 4x + 1 + 3x^{3}\).

On réduit et on ordonne \(Q(x)\) :

\[Q(x) = 4x^{3} + 3x^{2} - 4x + 1\]

\(P\) et \(Q\) ont le même degré \(3\) et leurs termes de même degré ont les mêmes coefficients. Donc \(P = Q\).

Application 2

1) Étudier l’égalité de \(P(x)\) et \(Q(x)\) dans chacun des cas suivants :

a) \(P(x) = x^{3} - 6x^{2} + 12x - 8\) et \(Q(x) = (x + 2)^{3}\)

b) \(P(x) = x^{3} + (x + 2)^{2}\) et \(Q(x) = x^{2} + 4x + 4\)

c) \(P(x) = 2x^{3} + x^{2}(x - 3) + 5x\) et \(Q(x) = 3x^{2}(x - 1) + 5x\)

2) Déterminer le réel \(a\) pour que \(P(x) = Q(x)\), où :

\(P(x) = (a + 1)x^{3} + 3ax^{2} + 4x + 9\)

\(Q(x) = 4x^{3} + 9x^{2} + (a + 1)x + 3a\)

3) Déterminer les réels \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) pour que \(P(x) = Q(x)\), où :

\(P(x) = ax^{3} + (b + 1)x^{2} + (3 - c)x + d\)

\(Q(x) = 2x^{3} - 4x^{2} + 5\)

3. Opérations sur les polynômes

Définition : somme de deux polynômes

Soient \(P\) et \(Q\) deux polynômes. La somme de \(P\) et \(Q\) est le polynôme noté \(P + Q\) défini par :

\[(P + Q)(x) = P(x) + Q(x)\]

Exemples

• Pour \(P(x) = x^{4} - x^{3} + 2x^{2} - 1\) et \(Q(x) = 3x^{3} - 2x^{2} + 2x - 4\) :

\[P(x) + Q(x) = x^{4} + 2x^{3} + 2x - 5\]

• Pour \(P(x) = 2x^{2} + 3x + 4\) et \(Q(x) = -2x^{2} + x - 1\) :

\[P(x) + Q(x) = 4x + 3\]

Remarque

Si \(P\), \(Q\) et \(P + Q\) sont des polynômes non nuls, le degré de \(P + Q\) est inférieur ou égal au plus grand des degrés de \(P\) et de \(Q\). Il peut être strictement plus petit : dans le second exemple, \(d^{\circ}P = d^{\circ}Q = 2\) mais \(d^{\circ}(P + Q) = 1\).

Définition : produit de deux polynômes

Soient \(P\) et \(Q\) deux polynômes. Le produit de \(P\) et \(Q\) est le polynôme noté \(P \times Q\) défini par :

\[(P \times Q)(x) = P(x) \times Q(x)\]

Exemple

Pour \(P(x) = x^{2} + 1\) et \(Q(x) = x - 1\) :

\[\begin{aligned} P(x) \times Q(x) &= (x^{2} + 1)(x - 1) \\ &= x^{3} - x^{2} + x - 1 \end{aligned}\]

Remarque

Si \(P\) et \(Q\) sont deux polynômes non nuls, alors :

\[d^{\circ}(P \times Q) = d^{\circ}P + d^{\circ}Q\]

Application 3

On considère les polynômes \(f(x) = x^{2} - 2x + 3\) et \(g(x) = 2x^{3} + x - 1\). Calculer :

\(A(x) = 3f(x) - 2g(x)\) ; \(B(x) = f(x) \times g(x)\)

\(C(x) = \big(f(x)\big)^{2}\) ; \(D(x) = \big(g(x)\big)^{2}\)

---

II. Division par \(x - \alpha\)

1. Division euclidienne d’un polynôme par \(x - \alpha\)

Propriété et définition

Soient \(P\) un polynôme de degré \(n\) (\(n \in \mathbb{N}^{*}\)) et \(\alpha\) un nombre réel.

Il existe un unique polynôme \(Q\), de degré \(n - 1\), tel que pour tout réel \(x\) :

\[P(x) = (x - \alpha)Q(x) + P(\alpha)\]

• \(Q(x)\) est le quotient de la division euclidienne de \(P(x)\) par \(x - \alpha\).

• Le nombre \(P(\alpha)\) est le reste de cette division.

Exemple

Pour \(P(x) = x^{2} - 8\) et \(\alpha = 3\) :

\[\begin{aligned} P(x) &= (x^{2} - 9) + 1 \\ &= (x - 3)(x + 3) + 1 \end{aligned}\]

Donc \(x + 3\) est le quotient de la division euclidienne de \(P(x)\) par \(x - 3\), et \(1\) en est le reste. On vérifie que \(P(3) = 9 - 8 = 1\).

2. Racine d’un polynôme

Définition

Soient \(P\) un polynôme et \(\alpha\) un nombre réel.

On dit que \(\alpha\) est une racine (ou un zéro) du polynôme \(P\) si \(P(\alpha) = 0\).

Exemple

Parmi les nombres \(1\), \(-2\) et \(3\), déterminons les racines de \(P(x) = x^{2} - 2x + 1\).

• \(P(1) = 1 - 2 + 1 = 0\), donc \(1\) est une racine de \(P\).

• \(P(-2) = 4 + 4 + 1 = 9 \neq 0\), donc \(-2\) n’est pas une racine de \(P\).

• \(P(3) = 9 - 6 + 1 = 4 \neq 0\), donc \(3\) n’est pas une racine de \(P\).

3. Technique de la division euclidienne

Pour effectuer la division euclidienne de \(P(x)\) par \(x - \alpha\), on procède comme pour la division des nombres entiers :

• on divise le terme de plus haut degré par \(x\) ;

• on multiplie le résultat par \(x - \alpha\), puis on retranche ce produit ;

• on recommence avec le polynôme obtenu, jusqu’à ce que le reste soit une constante.

Exemple

Effectuons la division euclidienne de \(P(x) = 2x^{3} + x^{2} - x + 1\) par \(x + 1\). Ici \(x + 1 = x - (-1)\), donc \(\alpha = -1\).

• On divise \(2x^{3}\) par \(x\) : on obtient \(2x^{2}\). On calcule \(2x^{2}(x + 1) = 2x^{3} + 2x^{2}\), que l’on retranche : il reste \(-x^{2} - x + 1\).

• On divise \(-x^{2}\) par \(x\) : on obtient \(-x\). On calcule \(-x(x + 1) = -x^{2} - x\), que l’on retranche : il reste \(1\).

• Le reste \(1\) est une constante : la division est terminée.

Dans la disposition ci-dessus, on a écrit en rouge l’opposé de chaque produit, puis on a additionné. On obtient :

\[P(x) = (x + 1)(2x^{2} - x) + 1\]

Le quotient est \(2x^{2} - x\) et le reste est \(1\). On vérifie que \(P(-1) = -2 + 1 + 1 + 1 = 1\).

4. Divisibilité par \(x - \alpha\)

Définition et propriété

Soient \(P\) un polynôme de degré \(n\) (\(n \in \mathbb{N}^{*}\)) et \(\alpha\) un nombre réel.

• On dit que \(P(x)\) est divisible par \(x - \alpha\) s’il existe un polynôme \(Q\), de degré \(n - 1\), tel que :

\[P(x) = (x - \alpha)Q(x)\]

• \(P(x)\) est divisible par \(x - \alpha\) si et seulement si \(\alpha\) est une racine de \(P\), c’est-à-dire \(P(\alpha) = 0\).

Exemple

Étudions la divisibilité de \(P(x) = x^{3} - 3x^{2} - 6x + 8\) par \(x - 1\).

On a \(P(1) = 1 - 3 - 6 + 8 = 0\) : le nombre \(1\) est une racine de \(P\), donc \(P(x)\) est divisible par \(x - 1\).

En effectuant la division euclidienne, on trouve le quotient \(x^{2} - 2x - 8\) :

\[P(x) = (x - 1)(x^{2} - 2x - 8)\]

Application 4

On considère le polynôme \(P(x) = x^{3} - 4x^{2} + x + 6\).

1) Vérifier que \(2\) est une racine de \(P\).

2) Effectuer la division euclidienne de \(P(x)\) par \(x - 2\).

3) Vérifier que \(-1\) est une racine du polynôme \(Q(x) = x^{2} - 2x - 3\), puis en déduire une factorisation de \(P(x)\) en produit de trois binômes.

4) Sans effectuer la division, déterminer le reste de la division euclidienne de \(P(x)\) par \(x + 2\).