Équations, inéquations et systèmes

Dans tout ce cours, \(S\) désigne l’ensemble des solutions.

I. Équations du premier degré à une inconnue

1. Équations de la forme \(ax + b = 0\) (rappel)

Définition

Soient \(a\) et \(b\) deux nombres réels avec \(a \neq 0\).

Toute égalité de la forme \(ax + b = 0\), où \(x\) est l’inconnue, est appelée équation du premier degré à une inconnue.

Résolution de l’équation \(ax + b = 0\)

Soient \(a\) et \(b\) deux nombres réels quelconques.

• Si \(a \neq 0\), l’équation a une seule solution : \(S = \left\{-\dfrac{b}{a}\right\}\).

• Si \(a = 0\) et \(b = 0\), tout réel est solution : \(S = \mathbb{R}\).

• Si \(a = 0\) et \(b \neq 0\), l’équation n’a pas de solution : \(S = \varnothing\).

Application 1

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes :

a) \(3(x + 2) = 6\left(\dfrac{1}{2}x + 1\right)\)

b) \(-2x + 5 = 4\left(-\dfrac{1}{2}x + 1\right)\)

c) \(3(2 - x) + 4 = 0\)

d) \(7(1 - x) - 7 = 0\)

2. Équations de la forme \((ax + b)(cx + d) = 0\) (rappel)

Propriété

Soient \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) des nombres réels avec \(a \neq 0\) et \(c \neq 0\). Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul :

\[\begin{aligned} &(ax + b)(cx + d) = 0 \\ &\iff ax + b = 0 \ \text{ ou } \ cx + d = 0 \end{aligned}\]

Par conséquent \(S = \left\{-\dfrac{b}{a}\,;-\dfrac{d}{c}\right\}\).

Application 2

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes :

a) \((2x - 3)(5 - x) = 0\)

b) \((-2x - 7)(x^{2} - 16) = 0\)

c) \(9(x - 2)^{2} = 16\)

3. Équations de la forme \(\dfrac{ax + b}{cx + d} = 0\)

Méthode

Soient \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) des nombres réels avec \(a \neq 0\) et \(c \neq 0\). Pour résoudre l’équation \(\dfrac{ax + b}{cx + d} = 0\) :

• on détermine d’abord son ensemble de définition \(D_E\) : le quotient existe si et seulement si \(cx + d \neq 0\) ;

• dans \(D_E\), un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul : on résout \(ax + b = 0\) ;

• on ne garde que les valeurs qui appartiennent à \(D_E\).

Exemple

Résolvons dans \(\mathbb{R}\) l’équation \((E) : \dfrac{2x - 1}{x - 1} = 0\).

L’équation \((E)\) est définie si et seulement si \(x - 1 \neq 0\), c’est-à-dire \(x \neq 1\). Donc \(D_E = \mathbb{R} \setminus \{1\}\).

Pour tout \(x\) de \(D_E\) :

\[\begin{aligned} \dfrac{2x - 1}{x - 1} = 0 &\iff 2x - 1 = 0 \\ &\iff x = \dfrac{1}{2} \end{aligned}\]

Or \(\dfrac{1}{2} \in D_E\), donc \(S = \left\{\dfrac{1}{2}\right\}\).

Application 3

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes :

a) \(\dfrac{x - 5}{6 - x} = 0\)

b) \(\dfrac{x^{2} - 25}{3x} = 0\)

c) \(\dfrac{(x - 1)(x + 3)}{x^{2} - 9} = 0\)

d) \(\dfrac{x + 2}{3x - 1} = -\dfrac{3}{4}\)

4. Équations de la forme \(|ax + b| = c\)

Règle

Soient \(a\), \(b\) et \(c\) des nombres réels avec \(a \neq 0\). On considère l’équation \((E) : |ax + b| = c\).

• Si \(c < 0\), l’équation \((E)\) n’a pas de solution, car une valeur absolue est toujours positive ou nulle : \(S = \varnothing\).

• Si \(c = 0\), l’équation \((E)\) équivaut à \(ax + b = 0\) : \(S = \left\{-\dfrac{b}{a}\right\}\).

• Si \(c > 0\), l’équation \((E)\) équivaut à \(ax + b = c\) ou \(ax + b = -c\). Elle a deux solutions : \(\dfrac{c - b}{a}\) et \(\dfrac{-c - b}{a}\).

Exemples

• \((E_1) : |x - 5| = -1\). Comme \(-1 < 0\), l’équation \((E_1)\) n’a pas de solution : \(S = \varnothing\).

• \((E_2) : |2x - 1| = 3\). Comme \(3 > 0\) :

\[\begin{aligned} &|2x - 1| = 3 \\ &\iff 2x - 1 = 3 \ \text{ ou } \ 2x - 1 = -3 \\ &\iff x = 2 \ \text{ ou } \ x = -1 \end{aligned}\]

Donc \(S = \{-1\,;2\}\).

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II. Inéquations du premier degré à une inconnue

1. Définition

Définition

Soient \(a\) et \(b\) deux nombres réels avec \(a \neq 0\).

Toute inégalité de la forme \(ax + b \leq 0\), \(ax + b < 0\), \(ax + b \geq 0\) ou \(ax + b > 0\) est appelée inéquation du premier degré à une inconnue.

Rappel

Quand on multiplie ou on divise les deux membres d’une inégalité par un nombre strictement négatif, on change le sens de l’inégalité.

Application 4

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les inéquations suivantes :

a) \(4x - 3 \geq 0\)

b) \(7x - 3(x + 2) > 4x - 1\)

c) \(-3x - \dfrac{\sqrt{2}}{2} \geq 0\)

2. Signe du binôme \(ax + b\)

Activité

1. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les inéquations \(2x - 1 \leq 0\) et \(2x - 1 \geq 0\).
2. En déduire le signe de \(2x - 1\) suivant les valeurs de \(x\), puis résumer les résultats dans un tableau (appelé tableau de signe de \(2x - 1\)).

Propriété

Soient \(a\) et \(b\) deux réels avec \(a \neq 0\). Le binôme \(ax + b\) s’annule pour \(x = -\dfrac{b}{a}\) ; il est du signe de \(a\) pour \(x > -\dfrac{b}{a}\) et du signe contraire de \(a\) pour \(x < -\dfrac{b}{a}\).

3. Signe d’un produit et d’un quotient

Règle

Pour étudier le signe de \((ax + b)(cx + d)\) ou de \(\dfrac{ax + b}{cx + d}\) (avec \(cx + d \neq 0\)), on étudie le signe de chaque binôme dans un même tableau, puis on applique la règle des signes.

Dans un quotient, la valeur qui annule le dénominateur est une valeur interdite : on la signale par une double barre.

Exemple

• Tableau de signe de \((2x - 1)(2x + 1)\) :

• Tableau de signe de \(\dfrac{2x - 1}{2x + 1}\) :

Application 5

On pose \(A(x) = \left(\dfrac{x}{3} + 2\right)(-x + 4)\) et \(B(x) = \dfrac{2x - 5}{3x + 6}\).

1) Dresser le tableau de signe de \(A(x)\), puis celui de \(B(x)\).

2) Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les inéquations \(A(x) \leq 0\) et \(B(x) > 0\).

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III. Équations et inéquations du second degré à une inconnue

1. Définitions

Définitions

Soient \(a\), \(b\) et \(c\) des nombres réels avec \(a \neq 0\).

• Toute égalité de la forme \(ax^{2} + bx + c = 0\) est appelée équation du second degré à une inconnue.

• Le nombre réel \(\Delta = b^{2} - 4ac\) est appelé discriminant de l’équation (ou du trinôme \(ax^{2} + bx + c\)).

• Toute inégalité de la forme \(ax^{2} + bx + c \leq 0\), \(ax^{2} + bx + c < 0\), \(ax^{2} + bx + c \geq 0\) ou \(ax^{2} + bx + c > 0\) est appelée inéquation du second degré à une inconnue.

Exemples

• \(2x^{2} - 3x + 1 = 0\) est une équation du second degré à une inconnue.

• \(x^{2} - 2x + 5 \geq 0\) est une inéquation du second degré à une inconnue.

2. Résolution de l’équation \(ax^{2} + bx + c = 0\)

Propriété 1

Soient \(a\), \(b\) et \(c\) des réels avec \(a \neq 0\). Pour résoudre l’équation \((E) : ax^{2} + bx + c = 0\), on calcule son discriminant \(\Delta = b^{2} - 4ac\), puis on étudie son signe.

• Si \(\Delta < 0\), l’équation \((E)\) n’a pas de solution : \(S = \varnothing\).

• Si \(\Delta = 0\), l’équation \((E)\) a une solution unique : \(S = \left\{-\dfrac{b}{2a}\right\}\).

• Si \(\Delta > 0\), l’équation \((E)\) a deux solutions distinctes :

\[x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}\] \[x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\]

et \(S = \{x_1\,;x_2\}\).

Exemple

Résolvons dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(x^{2} - 3x + 2 = 0\). Ici \(a = 1\), \(b = -3\) et \(c = 2\).

\[\Delta = (-3)^{2} - 4 \times 1 \times 2 = 1 > 0\]

L’équation a donc deux solutions distinctes :

\[x_1 = \dfrac{3 - \sqrt{1}}{2} = \dfrac{3 - 1}{2} = 1\] \[x_2 = \dfrac{3 + \sqrt{1}}{2} = \dfrac{3 + 1}{2} = 2\]

D’où \(S = \{1\,;2\}\).

Application 6

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes :

a) \(2x^{2} + 2x - 24 = 0\)

b) \(3x^{2} - 2x + 1 = 0\)

c) \(5x^{2} - 3x = 0\)

d) \(4x^{2} - 12x + 9 = 0\)

e) \(x^{2} - 2\sqrt{5}\,x + 1 = 0\)

3. Somme et produit des solutions

Propriété 2

Si \(x_1\) et \(x_2\) sont les solutions de l’équation \(ax^{2} + bx + c = 0\) (avec \(a \neq 0\)), alors :

\[x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} \quad\text{et}\quad x_1 \times x_2 = \dfrac{c}{a}\]

Remarque

Réciproquement, si deux nombres ont pour somme \(s\) et pour produit \(p\), alors ces deux nombres sont les solutions de l’équation \(t^{2} - st + p = 0\).

Application 7

1) Vérifier que \(2\) est une solution de l’équation \(3x^{2} - 7x + 2 = 0\), puis déterminer l’autre solution sans calculer le discriminant.

2) Résoudre dans \(\mathbb{R}^{2}\) le système :

\[\begin{cases} x + y = 11 \\ xy = 24 \end{cases}\]

4. Factorisation du trinôme \(ax^{2} + bx + c\)

Propriété 3

Soient \(a\), \(b\) et \(c\) des réels avec \(a \neq 0\), \(p(x) = ax^{2} + bx + c\) et \(\Delta\) son discriminant.

• Si \(\Delta < 0\), le trinôme \(p(x)\) ne se factorise pas en produit de deux binômes.

• Si \(\Delta = 0\), alors \(p(x) = a\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^{2}\).

• Si \(\Delta > 0\), alors \(p(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\), où \(x_1\) et \(x_2\) sont les solutions de l’équation \(p(x) = 0\).

Application 8

Factoriser, lorsque c’est possible, les trinômes suivants :

a) \(2x^{2} - 3x + 5\)

b) \(3x^{2} + 5x - 2\)

c) \(x^{2} - 3x + \dfrac{9}{4}\)

5. Signe du trinôme et inéquations du second degré

Propriété 4

Soient \(a\), \(b\) et \(c\) des réels avec \(a \neq 0\), \(p(x) = ax^{2} + bx + c\) et \(\Delta\) son discriminant.

• Si \(\Delta < 0\), \(p(x)\) est du signe de \(a\) pour tout réel \(x\).

• Si \(\Delta = 0\), \(p(x)\) est du signe de \(a\) pour tout \(x \neq -\dfrac{b}{2a}\), et il s’annule en \(-\dfrac{b}{2a}\).

• Si \(\Delta > 0\), \(p(x)\) est du signe de \(a\) à l’extérieur des racines \(x_1\) et \(x_2\) (avec \(x_1 < x_2\)) et du signe contraire de \(a\) entre les racines.

Méthode

Pour résoudre une inéquation du second degré, on dresse le tableau de signe du trinôme, puis on lit l’ensemble des solutions.

Application 9

1) Dresser le tableau de signe de chacun des trinômes suivants :

\(p(x) = 2x^{2} + 7x + 3\) ; \(Q(x) = 9x^{2} + 6x + 1\)

\(R(x) = -2x^{2} + x - 3\) ; \(s(x) = x^{2} - 6x + 5\)

2) En déduire les solutions des inéquations \(p(x) < 0\), \(Q(x) > 0\), \(R(x) \leq 0\) et \(s(x) \geq 0\).

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IV. Systèmes de deux équations du premier degré à deux inconnues

1. Équation du premier degré à deux inconnues

Définition

Soient \(a\), \(b\) et \(c\) des nombres réels avec \((a\,;b) \neq (0\,;0)\).

• Toute égalité de la forme \(ax + by + c = 0\) est appelée équation du premier degré à deux inconnues \(x\) et \(y\).

• Le couple \((x_0\,;y_0)\) est une solution de cette équation si et seulement si \(ax_0 + by_0 + c = 0\).

Application 10

On considère l’équation \((E) : 2x - 3y + 4 = 0\). Parmi les couples suivants, déterminer ceux qui sont solutions de \((E)\) :

\((1\,;2)\) ; \((-2\,;0)\) ; \((0\,;1)\) ; \(\left(\dfrac{1}{2}\,;\dfrac{5}{3}\right)\)

2. Système de deux équations du premier degré à deux inconnues

Définition et propriété

On considère le système :

\[(S) : \begin{cases} ax + by = c \\ a'x + b'y = c' \end{cases}\]

où \(a\), \(b\), \(c\), \(a'\), \(b'\) et \(c'\) sont des nombres réels. On pose :

\[D = \begin{vmatrix} a & b \\ a' & b' \end{vmatrix} = ab' - a'b\] \[D_x = \begin{vmatrix} c & b \\ c' & b' \end{vmatrix} = cb' - c'b\] \[D_y = \begin{vmatrix} a & c \\ a' & c' \end{vmatrix} = ac' - a'c\]

Le nombre \(D\) est appelé déterminant du système \((S)\).

• Si \(D \neq 0\), le système \((S)\) a une solution unique : le couple \((x\,;y)\) tel que \(x = \dfrac{D_x}{D}\) et \(y = \dfrac{D_y}{D}\).

• Si \(D = 0\) et (\(D_x \neq 0\) ou \(D_y \neq 0\)), le système \((S)\) n’a pas de solution.

• Si \(D = 0\), \(D_x = 0\) et \(D_y = 0\), le système \((S)\) a une infinité de solutions (lorsque \((a\,;b) \neq (0\,;0)\), ce sont les solutions de la première équation).

Application 11

1) Résoudre dans \(\mathbb{R}^{2}\) les systèmes suivants :

\[(S_1) : \begin{cases} 3x + y = 5 \\ x - 2y = 4 \end{cases}\] \[(S_2) : \begin{cases} 2x - 4y = 6 \\ -x + 2y = -3 \end{cases}\] \[(S_3) : \begin{cases} 3x - 6y = 1 \\ x - 2y = 2 \end{cases}\]

2) Résoudre dans \(\mathbb{R}^{2}\) le système :

\[(S) : \begin{cases} 3x + 2y = 7 \\ -x + y = 1 \end{cases}\]

3) En déduire les solutions des systèmes suivants :

\[(S') : \begin{cases} \dfrac{3}{x - 1} + \dfrac{2}{y} = 7 \\[2mm] -\dfrac{1}{x - 1} + \dfrac{1}{y} = 1 \end{cases}\] \[(S'') : \begin{cases} 3|x - 2| + \dfrac{2}{y} = 7 \\[2mm] -|x - 2| + \dfrac{1}{y} = 1 \end{cases}\]