Mathématiques · Projection dans le plan
La projection dans le plan
Projection sur une droite parallèlement à une autre, projection orthogonale, théorème de Thalès (direct, réciproque, écriture vectorielle) et conservation du coefficient de colinéarité.
- Matière
- Mathématiques
- Niveau
- Tronc Commun
- Filière
- Tronc Commun Scientifique
- Session
- Semestre 1
Cours الدرس
I. Projection sur une droite
1. Projection sur une droite parallèlement à une droite
Activité
On considère la figure suivante :
• La droite \((\Delta)\) indique le sens des rayons issus du soleil \(S\).
• La droite \((D)\) représente le sol.
- Représenter sur la droite \((D)\) les points \(A'\), \(B'\) et \(C'\), ombres des points \(A\), \(B\) et \(C\) respectivement.
- Quelle est l’ombre des segments \([AB]\) et \([BC]\) ?
Définition
Soient \((\Delta)\) et \((D)\) deux droites sécantes et soient \(M\) et \(M'\) deux points du plan tels que \(M' \in (D)\) et \((MM') \parallel (\Delta)\).
Le point \(M'\) s’appelle le projeté du point \(M\) sur la droite \((D)\) parallèlement à la droite \((\Delta)\) et on écrit :
\[p_{(D) \parallel (\Delta)}(M) = M'\]
Remarque
• Si \(M \in (D)\), alors le projeté du point \(M\) sur la droite \((D)\) est le point \(M\) lui-même ; on dit que le point \(M\) est invariant par la projection.
• Si \(M \notin (D)\) et si \(M'\) est le projeté du point \(M\) sur la droite \((D)\) parallèlement à la droite \((\Delta)\), alors \((MM') \parallel (\Delta)\).
2. Cas particulier : projection orthogonale
Définition
Soient \((\Delta)\) et \((D)\) deux droites perpendiculaires et soient \(M\) et \(M'\) deux points du plan.
Si \(M'\) est le projeté du point \(M\) sur la droite \((D)\) parallèlement à la droite \((\Delta)\), alors \(M'\) s’appelle le projeté orthogonal du point \(M\) sur la droite \((D)\).
Application 1
On considère la figure suivante, dans laquelle \(H\), \(M'\) et \(N'\) sont les projetés orthogonaux respectifs des points \(A\), \(M\) et \(N\) sur la droite \((BC)\).
- Montrer que \((MM') \parallel (AH)\).
- Montrer que \(AHN'N\) est un trapèze.
Correction de l’application 1
1) Montrons que \((MM') \parallel (AH)\).
\(M'\) est le projeté orthogonal du point \(M\) sur la droite \((BC)\), donc \((MM') \perp (BC)\).
\(H\) est le projeté orthogonal du point \(A\) sur la droite \((BC)\), donc \((AH) \perp (BC)\).
Or deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre elles. Donc :
\[(MM') \parallel (AH)\]2) Montrons que \(AHN'N\) est un trapèze.
\(N'\) est le projeté orthogonal du point \(N\) sur la droite \((BC)\), donc \((NN') \perp (BC)\).
Les droites \((AH)\) et \((NN')\) sont perpendiculaires à la même droite \((BC)\) ; elles sont donc parallèles :
\[(AH) \parallel (NN')\]Le quadrilatère \(AHN'N\) a deux côtés opposés parallèles, \([AH]\) et \([N'N]\) : c’est un trapèze de bases \([AH]\) et \([NN']\).
Remarque : comme \((AH) \perp (HN')\), c’est même un trapèze rectangle.
II. Théorème de Thalès
1. Théorème de Thalès direct
Propriété
Soient \((D_1)\) et \((D_2)\) deux droites sécantes en un point \(A\).
• Soient \(B\) et \(M\) deux points de \((D_1)\) distincts de \(A\).
• Soient \(C\) et \(N\) deux points de \((D_2)\) distincts de \(A\).
Si \((MN) \parallel (BC)\), alors on a :
\[\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}\]
Écriture vectorielle du théorème de Thalès direct
Si les points \(A\), \(B\) et \(M\) sont alignés, si les points \(A\), \(C\) et \(N\) sont alignés et si \((MN) \parallel (BC)\), alors il existe un réel non nul \(k\) tel que :
\[\begin{aligned} \overrightarrow{AM} &= k\,\overrightarrow{AB} \\ \overrightarrow{AN} &= k\,\overrightarrow{AC} \\ \overrightarrow{MN} &= k\,\overrightarrow{BC} \end{aligned}\]
Théorème de Thalès direct par la projection
Soient \((D_1)\) et \((D_2)\) deux droites sécantes et soient \(A\), \(B\) et \(C\) trois points alignés tels que la droite \((AB)\) n’est parallèle ni à \((D_1)\) ni à \((D_2)\).
Si \(A'\), \(B'\) et \(C'\) sont respectivement les projetés des points \(A\), \(B\) et \(C\) sur \((D_2)\) parallèlement à \((D_1)\), alors on a :
\[\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{A'B'}{A'C'}\]
Application 2
On considère la figure suivante :
On donne :
• \((EF) \parallel (GH)\) ;
• \(OE = 12\) et \(OH = 20\) ;
• \(OF = 15\) et \(OG = x\).
Déterminer la valeur de \(x\).
Correction de l’application 2
Les droites \((EH)\) et \((FG)\) sont sécantes en \(O\) : les points \(O\), \(E\) et \(H\) sont alignés, ainsi que les points \(O\), \(F\) et \(G\).
De plus, \((EF) \parallel (GH)\). D’après le théorème de Thalès direct :
\[\dfrac{OE}{OH} = \dfrac{OF}{OG} = \dfrac{EF}{GH}\]En particulier \(\dfrac{OE}{OH} = \dfrac{OF}{OG}\), c’est-à-dire :
\[\dfrac{12}{20} = \dfrac{15}{x}\]On en déduit, par le produit en croix :
\[\begin{aligned} 12x &= 20 \times 15 \\ 12x &= 300 \\ x &= \dfrac{300}{12} \\ x &= 25 \end{aligned}\]Donc \(OG = 25\).
2. Réciproque du théorème de Thalès
Propriété
Soient \((D_1)\) et \((D_2)\) deux droites sécantes en un point \(A\).
• Soient \(B\) et \(M\) deux points de \((D_1)\) distincts de \(A\).
• Soient \(C\) et \(N\) deux points de \((D_2)\) distincts de \(A\).
Si les points \(A\), \(B\), \(M\) et les points \(A\), \(C\), \(N\) sont alignés dans le même ordre et si
\[\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}\]alors \((MN) \parallel (BC)\).
Exemples
![Réciproque de Thalès : points B et C sur les côtés [AM] et [AN]](data:image/png;base64,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)
![Réciproque de Thalès : points M et N sur les côtés [AB] et [AC]](data:image/png;base64,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)
Dans chacun de ces trois cas, les points \(A\), \(B\), \(M\) et les points \(A\), \(C\), \(N\) sont alignés dans le même ordre et \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}\) ; ce qui entraîne que \((MN) \parallel (BC)\).
III. Conservation du coefficient de colinéarité
Propriété
Soient \((D_1)\) et \((D_2)\) deux droites sécantes et soient \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) deux vecteurs colinéaires non nuls ; il existe alors un nombre réel non nul \(k\) tel que :
\[\overrightarrow{AB} = k\,\overrightarrow{CD}\]Si \(A'\), \(B'\), \(C'\) et \(D'\) sont respectivement les projetés des points \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) sur \((D_2)\) parallèlement à \((D_1)\), alors :
\[\overrightarrow{A'B'} = k\,\overrightarrow{C'D'}\]On dit que la projection conserve le coefficient de colinéarité. Le réel \(k\) s’appelle le coefficient de colinéarité.
Application 3
Soit \(ABC\) un triangle et soit \(M\) le point tel que \(\overrightarrow{AM} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}\).
Soient \(N\) et \(P\) deux points du plan tels que :
• \(N\) est le projeté du point \(M\) sur la droite \((AC)\) parallèlement à la droite \((BC)\) ;
• \(P\) est le projeté du point \(N\) sur la droite \((BC)\) parallèlement à la droite \((AB)\).
- Montrer que \(\overrightarrow{AN} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}\).
- Montrer que \(\overrightarrow{BP} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}\).
- Montrer que \(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{BP}\).
Correction de l’application 3
1) Montrons que \(\overrightarrow{AN} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}\).
On considère la projection sur la droite \((AC)\) parallèlement à la droite \((BC)\). Par cette projection :
• le projeté de \(A\) est \(A\) lui-même, car \(A \in (AC)\) ;
• le projeté de \(B\) est \(C\), car la parallèle à \((BC)\) passant par \(B\) est la droite \((BC)\) elle-même, qui coupe \((AC)\) en \(C\) ;
• le projeté de \(M\) est \(N\), d’après l’énoncé.
On a \(\overrightarrow{AM} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}\). Comme la projection conserve le coefficient de colinéarité, on obtient :
\[\overrightarrow{AN} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}\]2) Montrons que \(\overrightarrow{BP} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}\).
On considère maintenant la projection sur la droite \((BC)\) parallèlement à la droite \((AB)\). Par cette projection :
• le projeté de \(A\) est \(B\), car la parallèle à \((AB)\) passant par \(A\) est la droite \((AB)\) elle-même, qui coupe \((BC)\) en \(B\) ;
• le projeté de \(C\) est \(C\) lui-même, car \(C \in (BC)\) ;
• le projeté de \(N\) est \(P\), d’après l’énoncé.
D’après la question 1), \(\overrightarrow{AN} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}\). Comme la projection conserve le coefficient de colinéarité, on obtient :
\[\overrightarrow{BP} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}\]3) Montrons que \(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{BP}\).
On a \(\overrightarrow{MA} = -\overrightarrow{AM} = -\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}\). D’après la relation de Chasles :
\[\begin{aligned} \overrightarrow{MN} &= \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AN} \\ &= -\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC} \\ &= \dfrac{2}{3}\left(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC}\right) \\ &= \dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC} \end{aligned}\]Or \(\overrightarrow{BP} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}\). Donc :
\[\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{BP}\]Remarque : cette égalité signifie que le quadrilatère \(MNPB\) est un parallélogramme.