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Mathématiques · Ordre dans ℝ

L’ordre dans ℝ

Ordre et opérations, intervalles de ℝ, valeur absolue, distance, centre et rayon d’un intervalle, encadrement, approximation et valeur approchée.

Session
Semestre 1
Cours الدرس

I. L’ordre et les opérations

Activité

  1. Soit \(a\) un nombre réel. Comparer \(a^{2} + 1\) et \(2a\).
  2. Soient \(a\) et \(b\) deux nombres réels tels que \(-2 \leq a \leq 3\) et \(-1 \leq b \leq 4\). Encadrer \(a + b\) et \(a - b\).

Définition

Soient \(a\) et \(b\) deux nombres réels.

• \(a - b \geq 0\) signifie \(a \geq b\).

• \(a - b \leq 0\) signifie \(a \leq b\).

Propriété

Soient \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) des nombres réels.

• Si \(a \geq b\) et \(b \geq c\), alors \(a \geq c\).

• Si \(a \geq b\), alors \(a + c \geq b + c\).

• Si \(a \geq b\) et \(c \geq d\), alors \(a + c \geq b + d\).

• Si \(a \geq b\) et \(c \geq 0\), alors \(ac \geq bc\).

• Si \(a \geq b\) et \(c \leq 0\), alors \(ac \leq bc\).

• Si \(a \geq b \geq 0\), alors \(a^{2} \geq b^{2}\).

• Si \(0 \geq a \geq b\), alors \(a^{2} \leq b^{2}\).

• Si \(0 \leq a \leq b\), alors \(\sqrt{a} \leq \sqrt{b}\).

• Si \(a\) et \(b\) sont non nuls et de même signe (\(ab > 0\)) et si \(a \leq b\), alors \(\dfrac{1}{a} \geq \dfrac{1}{b}\).

Application 1

1) Soit \(a\) un nombre réel. Comparer \(a^{2} + 9\) et \(6a\).

2) Soient \(a\) et \(b\) deux nombres réels tels que \(-3 \leq a \leq 2\) et \(1 \leq b \leq 5\). Encadrer \(a + b\) et \(a - b\).

Correction de l’application 1

1) On étudie le signe de la différence :

\[\begin{aligned} (a^{2} + 9) - 6a &= a^{2} - 6a + 9 \\ &= (a - 3)^{2} \end{aligned}\]

Un carré est toujours positif ou nul, donc \((a^{2} + 9) - 6a \geq 0\). Par suite :

\[a^{2} + 9 \geq 6a\]

2) On ajoute membre à membre les deux encadrements \(-3 \leq a \leq 2\) et \(1 \leq b \leq 5\) :

\[-3 + 1 \leq a + b \leq 2 + 5\]

Donc \(-2 \leq a + b \leq 7\).

Pour \(a - b\), on encadre d’abord \(-b\) : en multipliant \(1 \leq b \leq 5\) par \(-1\), le sens des inégalités change, donc \(-5 \leq -b \leq -1\). On ajoute ensuite membre à membre avec \(-3 \leq a \leq 2\) :

\[-3 - 5 \leq a - b \leq 2 - 1\]

Donc \(-8 \leq a - b \leq 1\).

Attention : on ne soustrait jamais deux encadrements membre à membre.

II. Les intervalles de \(\mathbb{R}\)

1. Notations

Soient \(a\) et \(b\) deux nombres réels tels que \(a < b\).

Intervalles bornés

• \([a\,;b]\) est l’ensemble des réels \(x\) tels que \(a \leq x \leq b\) : intervalle fermé.

• \(]a\,;b[\) est l’ensemble des réels \(x\) tels que \(a < x < b\) : intervalle ouvert.

• \([a\,;b[\) est l’ensemble des réels \(x\) tels que \(a \leq x < b\) : intervalle semi-ouvert (fermé en \(a\)).

• \(]a\,;b]\) est l’ensemble des réels \(x\) tels que \(a < x \leq b\) : intervalle semi-ouvert (fermé en \(b\)).

Représentation sur la droite graduée des intervalles bornés d’extrémités a et b

Intervalles non bornés

• \([a\,;+\infty[\) est l’ensemble des réels \(x\) tels que \(x \geq a\).

• \(]a\,;+\infty[\) est l’ensemble des réels \(x\) tels que \(x > a\).

• \(]-\infty\,;b]\) est l’ensemble des réels \(x\) tels que \(x \leq b\).

• \(]-\infty\,;b[\) est l’ensemble des réels \(x\) tels que \(x < b\).

Représentation sur la droite graduée des intervalles non bornés

Remarque

Les symboles \(+\infty\) et \(-\infty\) ne sont pas des nombres réels : le crochet est toujours ouvert de leur côté.

Exemples

• \([-1\,;4] = \{x \in \mathbb{R} \ / \ -1 \leq x \leq 4\}\). On a :

\(\sqrt{2} \in [-1\,;4]\) ; \(-\dfrac{1}{2} \in [-1\,;4]\) ; \(-5 \notin [-1\,;4]\)

• \(]-\infty\,;2[ \,= \{x \in \mathbb{R} \ / \ x < 2\}\). On a :

\(-\sqrt{3} \in \,]-\infty\,;2[\) ; \(\pi \notin \,]-\infty\,;2[\) ; \(2 \notin \,]-\infty\,;2[\)

III. La valeur absolue

1. Valeur absolue d’un nombre réel

Définition

On considère une droite graduée \(\Delta(O\,;I)\).

Pour tout réel \(x\), la valeur absolue de \(x\) est la distance \(OM\) entre l’origine \(O\) et le point \(M\) d’abscisse \(x\). On la note \(|x|\).

Pour tout \(x \in \mathbb{R}\), on a donc :

\[|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0 \\ -x & \text{si } x \leq 0 \end{cases}\]

Valeur absolue de x : distance OM sur la droite graduée, dans le cas x positif puis x négatif

Exemples

\(|2 - \pi| = \pi - 2\) ; \(|\sqrt{3} - 1| = \sqrt{3} - 1\) ; \(|-12| = 12\) ; \(|\sqrt{2}| = \sqrt{2}\)

Application 2

Calculer les nombres suivants :

\(|1 - \sqrt{3}|\) ; \(\sqrt{(3 - \sqrt{10})^{2}}\) ; \(\sqrt{(5 - \sqrt{23})^{2}}\)

Correction de l’application 2

On rappelle que, pour tout réel \(a\), \(\sqrt{a^{2}} = |a|\).

• On a \(1 < 3\), donc \(1 < \sqrt{3}\) et \(1 - \sqrt{3} < 0\). Donc :

\[|1 - \sqrt{3}| = -(1 - \sqrt{3}) = \sqrt{3} - 1\]

• On a \(3^{2} = 9 < 10\), donc \(3 < \sqrt{10}\) et \(3 - \sqrt{10} < 0\). Donc :

\[\begin{aligned} \sqrt{(3 - \sqrt{10})^{2}} &= |3 - \sqrt{10}| \\ &= \sqrt{10} - 3 \end{aligned}\]

• On a \(5^{2} = 25 > 23\), donc \(5 > \sqrt{23}\) et \(5 - \sqrt{23} > 0\). Donc :

\[\begin{aligned} \sqrt{(5 - \sqrt{23})^{2}} &= |5 - \sqrt{23}| \\ &= 5 - \sqrt{23} \end{aligned}\]

Propriété

Pour tout \(x \in \mathbb{R}\) :

• \(|x| \geq 0\) ; \(x \leq |x|\) ; \(-x \leq |x|\) ;

• \(|x| = |-x|\) ;

• \(|x|^{2} = x^{2}\).

Soient \(a \in \mathbb{R}^{+}\) et \(x\), \(y\) deux réels :

• \(|x| = 0 \iff x = 0\) ;

• \(|x| = a \iff x = a \text{ ou } x = -a\) ;

• \(|x| = |y| \iff x = y \text{ ou } x = -y\) ;

• \(|xy| = |x| \times |y|\) ; si \(y \neq 0\), alors \(\left|\dfrac{x}{y}\right| = \dfrac{|x|}{|y|}\) ;

• \(|x| \leq a \iff -a \leq x \leq a\) ;

• \(|x + y| \leq |x| + |y|\).

Application 3

Soit \(x\) un nombre réel. Écrire les expressions suivantes sans valeur absolue :

\(A = |2x - 3|\) ; \(B = |4 - x|\) ; \(C = |x - 1| + |x + 2|\)

Correction de l’application 3

Expression \(A\). On a \(2x - 3 \geq 0 \iff x \geq \dfrac{3}{2}\). Donc :

• si \(x \geq \dfrac{3}{2}\), alors \(A = 2x - 3\) ;

• si \(x < \dfrac{3}{2}\), alors \(A = -(2x - 3) = 3 - 2x\).

Expression \(B\). On a \(4 - x \geq 0 \iff x \leq 4\). Donc :

• si \(x \leq 4\), alors \(B = 4 - x\) ;

• si \(x > 4\), alors \(B = -(4 - x) = x - 4\).

Expression \(C\). On a \(x - 1 \geq 0 \iff x \geq 1\) et \(x + 2 \geq 0 \iff x \geq -2\). On distingue trois cas :

• si \(x < -2\), alors \(x - 1 < 0\) et \(x + 2 < 0\), donc :

\[\begin{aligned} C &= (1 - x) + (-x - 2) \\ &= -2x - 1 \end{aligned}\]

• si \(-2 \leq x < 1\), alors \(x - 1 < 0\) et \(x + 2 \geq 0\), donc :

\[\begin{aligned} C &= (1 - x) + (x + 2) \\ &= 3 \end{aligned}\]

• si \(x \geq 1\), alors \(x - 1 \geq 0\) et \(x + 2 \geq 0\), donc :

\[\begin{aligned} C &= (x - 1) + (x + 2) \\ &= 2x + 1 \end{aligned}\]

2. Distance entre deux points et valeur absolue

Propriété

Soient \(A(a)\) et \(B(b)\) deux points d’une droite graduée \(\Delta(O\,;I)\). La distance \(AB\) est :

\[AB = |b - a|\]

Distance AB égale à la valeur absolue de b moins a sur une droite graduée

Définition

La distance \(|b - a|\) entre les points \(A(a)\) et \(B(b)\) d’une droite graduée est aussi appelée distance entre les nombres \(a\) et \(b\).

3. Centre, longueur et rayon d’un intervalle

Propriété

Soient \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(a < b\), et \(A(a)\), \(B(b)\) les points correspondants de la droite graduée. Pour un intervalle d’extrémités \(a\) et \(b\) :

• la longueur est \(AB = |b - a| = b - a\) ;

• le centre est l’abscisse du milieu de \([AB]\) : \(c = \dfrac{a + b}{2}\) ;

• le rayon est la demi-longueur : \(r = \dfrac{b - a}{2}\).

Application 4

1) Déterminer le centre et le rayon de l’intervalle \(]-4\,;6]\).

2) Déterminer l’intervalle ouvert de centre \(-1\) et de rayon \(4\).

3) Déterminer l’intervalle fermé de centre \(2\) dont l’une des extrémités est \(-\dfrac{1}{2}\).

Correction de l’application 4

1) Pour l’intervalle \(]-4\,;6]\), on a \(a = -4\) et \(b = 6\). Donc :

\[\begin{aligned} c &= \dfrac{-4 + 6}{2} = 1 \\ r &= \dfrac{6 - (-4)}{2} = 5 \end{aligned}\]

Le centre est \(1\) et le rayon est \(5\).

2) Les extrémités sont \(c - r\) et \(c + r\), avec \(c = -1\) et \(r = 4\) :

\[-1 - 4 = -5 \quad\text{et}\quad -1 + 4 = 3\]

L’intervalle ouvert cherché est \(]-5\,;3[\).

3) Le rayon est la distance entre le centre et l’extrémité connue :

\[r = \left|-\dfrac{1}{2} - 2\right| = \left|-\dfrac{5}{2}\right| = \dfrac{5}{2}\]

Comme \(-\dfrac{1}{2} < 2\), l’extrémité connue est celle de gauche. L’autre extrémité est :

\[2 + \dfrac{5}{2} = \dfrac{9}{2}\]

L’intervalle fermé cherché est \(\left[-\dfrac{1}{2}\,;\dfrac{9}{2}\right]\).

IV. Valeur absolue et intervalles

Dans ce paragraphe, \(a\) est un nombre réel, \(r\) un réel strictement positif et \(x\) un nombre réel.

Propriété 1

\[\begin{aligned} &|x - a| \leq r \\ &\iff a - r \leq x \leq a + r \\ &\iff x \in [a - r\,;a + r] \end{aligned}\]

\([a - r\,;a + r]\) est l’intervalle fermé de centre \(a\) et de rayon \(r\).

Intervalle fermé de centre a et de rayon r sur la droite graduée

Propriété 2

\[\begin{aligned} &|x - a| < r \\ &\iff a - r < x < a + r \\ &\iff x \in \,]a - r\,;a + r[ \end{aligned}\]

\(]a - r\,;a + r[\) est l’intervalle ouvert de centre \(a\) et de rayon \(r\).

Intervalle ouvert de centre a et de rayon r sur la droite graduée

Propriété 3

\[\begin{aligned} &|x - a| \geq r \\ &\iff x \leq a - r \ \text{ ou } \ x \geq a + r \\ &\iff x \in \,]-\infty\,;a - r] \\ &\qquad\qquad \cup \, {[a + r\,;+\infty[} \end{aligned}\]

Ensemble des réels x dont la distance à a est supérieure ou égale à r

Application 5

Écrire chacun des ensembles suivants sous forme d’un intervalle ou d’une réunion d’intervalles :

\[A = \{x \in \mathbb{R} \ / \ |x - 2| \leq 3\}\] \[B = \{x \in \mathbb{R} \ / \ |x + 3| < 5\}\] \[C = \{x \in \mathbb{R} \ / \ |x - 4| \geq 1\}\]

Correction de l’application 5

Ensemble \(A\).

\[\begin{aligned} |x - 2| \leq 3 &\iff -3 \leq x - 2 \leq 3 \\ &\iff -1 \leq x \leq 5 \end{aligned}\]

Donc \(A = [-1\,;5]\) : c’est l’intervalle fermé de centre \(2\) et de rayon \(3\).

Ensemble \(B\). On écrit \(|x + 3| = |x - (-3)|\) :

\[\begin{aligned} |x + 3| < 5 &\iff -5 < x + 3 < 5 \\ &\iff -8 < x < 2 \end{aligned}\]

Donc \(B = \,]-8\,;2[\) : c’est l’intervalle ouvert de centre \(-3\) et de rayon \(5\).

Ensemble \(C\).

\[\begin{aligned} &|x - 4| \geq 1 \\ &\iff x - 4 \leq -1 \\ &\qquad \text{ou } \ x - 4 \geq 1 \\ &\iff x \leq 3 \ \text{ ou } \ x \geq 5 \end{aligned}\]

Donc \(C = \,]-\infty\,;3] \cup [5\,;+\infty[\).

V. Encadrement et approximation

1. Encadrement

Définition

Soient \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(a < b\), et \(x\) un nombre réel.

Chacune des doubles inégalités \(a < x < b\), \(a \leq x < b\), \(a < x \leq b\) et \(a \leq x \leq b\) est appelée encadrement du nombre \(x\).

La largeur (ou amplitude) de cet encadrement est \(b - a\).

Exemples

• \(0 < \dfrac{2}{3} < 1\) est un encadrement de \(\dfrac{2}{3}\) de largeur \(1\).

• \(0{,}666 < \dfrac{2}{3} < 0{,}667\) est un encadrement de \(\dfrac{2}{3}\) de largeur \(10^{-3}\).

2. Approximation par défaut et par excès

Définition

Soient \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(a < b\), et \(x\) un nombre réel. Si \(a \leq x \leq b\) (ou \(a \leq x < b\), ou \(a < x \leq b\), ou \(a < x < b\)), on dit que :

• \(a\) est une approximation de \(x\) à \(b - a\) près par défaut ;

• \(b\) est une approximation de \(x\) à \(b - a\) près par excès.

Exemple

On a \(3{,}14 < \pi < 3{,}15\). Donc :

• \(3{,}14\) est une approximation de \(\pi\) à \(10^{-2}\) près par défaut ;

• \(3{,}15\) est une approximation de \(\pi\) à \(10^{-2}\) près par excès.

Propriété

Soient \(a\) et \(x\) deux réels et \(r > 0\).

• \(a\) est une approximation de \(x\) à \(r\) près par défaut si et seulement si \(a \leq x \leq a + r\).

• \(a\) est une approximation de \(x\) à \(r\) près par excès si et seulement si \(a - r \leq x \leq a\).

3. Valeur approchée

Définition

Soient \(x\) un nombre réel et \(r > 0\). Un réel \(a\) est appelé valeur approchée de \(x\) à \(r\) près si :

\[|x - a| \leq r\]

Autrement dit, \(a - r \leq x \leq a + r\) : l’erreur commise en remplaçant \(x\) par \(a\) est au plus égale à \(r\).

Exemple

Comparons \(\dfrac{22}{7}\) et \(3{,}14 = \dfrac{157}{50}\) :

\[\left|\dfrac{22}{7} - 3{,}14\right| = \dfrac{1100 - 1099}{350} = \dfrac{1}{350}\]

Or \(\dfrac{1}{350} \approx 0{,}0029\), donc \(\left|\dfrac{22}{7} - 3{,}14\right| \leq 3 \times 10^{-3}\).

Ainsi \(3{,}14\) est une valeur approchée de \(\dfrac{22}{7}\) à \(3 \times 10^{-3}\) près.

4. Approximations décimales

Définition

Soient \(x\) un nombre réel et \(n\) un entier naturel. Il existe un unique entier relatif \(p\) tel que :

\[p \times 10^{-n} \leq x < (p + 1) \times 10^{-n}\]

• \(p \times 10^{-n}\) est l’approximation décimale par défaut de \(x\) à \(10^{-n}\) près (à l’ordre \(n\)).

• \((p + 1) \times 10^{-n}\) est l’approximation décimale par excès de \(x\) à \(10^{-n}\) près (à l’ordre \(n\)).

Exemple

Pour \(x = \dfrac{2}{3}\) et \(n = 3\), on a \(p = 666\) :

\[0{,}666 \leq \dfrac{2}{3} < 0{,}667\]

• L’approximation décimale par défaut à l’ordre \(3\) est \(0{,}666\).

• L’approximation décimale par excès à l’ordre \(3\) est \(0{,}667\).

• L’arrondi à l’ordre \(3\) est \(0{,}667\), car \(\dfrac{2}{3} = 0{,}6666\ldots\) est plus proche de \(0{,}667\) que de \(0{,}666\).