La droite dans le plan

I. Repère du plan – Coordonnées d’un point et d’un vecteur

1. Repère du plan

Définition

Soient \(O\), \(I\) et \(J\) trois points non alignés du plan. On pose \(\vec{i} = \overrightarrow{OI}\) et \(\vec{j} = \overrightarrow{OJ}\).

• Le triplet \((O, \vec{i}, \vec{j})\) définit un repère du plan ; le point \(O\) est l’origine du repère.

• Le couple \((\vec{i}, \vec{j})\) est appelé base du plan.

• La droite \((OI)\) est l’axe des abscisses et la droite \((OJ)\) est l’axe des ordonnées.

• Si \((OI) \perp (OJ)\), le repère est dit orthogonal.

• Si \((OI) \perp (OJ)\) et \(\|\vec{i}\| = \|\vec{j}\| = 1\), le repère est dit orthonormé.

2. Coordonnées d’un point, coordonnées d’un vecteur

Activité

Dans un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\), on considère les points \(A(1\,;3)\), \(B(-1\,;2)\) et \(C(-2\,;-1)\).

1. Déterminer les coordonnées des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{BC}\).
2. Calculer les distances \(AB\), \(AC\) et \(BC\).
3. Déterminer les coordonnées des vecteurs \(2\overrightarrow{AB}\) et \(-3\overrightarrow{BC}\).
4. Déterminer les coordonnées des vecteurs \(2\overrightarrow{AB} - 3\overrightarrow{BC}\) et \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\).
5. Déterminer les coordonnées du point \(K\), milieu du segment \([AB]\).

Définitions

Soit \((O, \vec{i}, \vec{j})\) un repère du plan.

• Pour tout point \(M\) du plan, il existe un unique couple \((x\,;y)\) de nombres réels tel que :

\[\overrightarrow{OM} = x\vec{i} + y\vec{j}\]

Le couple \((x\,;y)\) est le couple de coordonnées du point \(M\) : \(x\) est l’abscisse de \(M\) et \(y\) est son ordonnée. On écrit \(M(x\,;y)\) ou \(M\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\).

• Pour tout vecteur \(\vec{u}\) du plan, il existe un unique couple \((x\,;y)\) de nombres réels tel que :

\[\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j}\]

Le couple \((x\,;y)\) est le couple de coordonnées du vecteur \(\vec{u}\) : \(x\) est l’abscisse de \(\vec{u}\) et \(y\) est son ordonnée. On écrit \(\vec{u}(x\,;y)\) ou \(\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\).

3. Calculs avec les coordonnées

Propriété : produit d’un vecteur par un réel

Soient \(\vec{u}(x\,;y)\) un vecteur du plan et \(k\) un nombre réel.

Le vecteur \(k\vec{u}\) a pour coordonnées \((kx\,;ky)\).

Propriété : somme de deux vecteurs

Soient \(\vec{u}(x\,;y)\) et \(\vec{v}(x'\,;y')\) deux vecteurs du plan.

Le vecteur \(\vec{u} + \vec{v}\) a pour coordonnées \((x + x'\,;y + y')\).

Exemple

On a \(\vec{u}(2\,;-3)\) et \(\vec{v}(0\,;-1)\). Donc \(2\vec{u}(4\,;-6)\) et \((\vec{u} + \vec{v})(2\,;-4)\).

Propriété : vecteur, milieu et distance

Soient \(A(x_A\,;y_A)\) et \(B(x_B\,;y_B)\) deux points dans un repère \((O, \vec{i}, \vec{j})\).

• Le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) a pour coordonnées :

\[(x_B - x_A\,;\,y_B - y_A)\]

• Le milieu du segment \([AB]\) a pour coordonnées :

\[\left(\dfrac{x_A + x_B}{2}\,;\,\dfrac{y_A + y_B}{2}\right)\]

• Si le repère est orthonormé, alors :

\[AB^{2} = (x_B - x_A)^{2} + (y_B - y_A)^{2}\]

c’est-à-dire \(AB = \sqrt{X^{2} + Y^{2}}\), où \((X\,;Y)\) sont les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\).

Exemple

Dans un repère orthonormé, on considère les points \(A(3\,;1)\) et \(B(-1\,;2)\), et \(K\) le milieu de \([AB]\).

• Coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) : \((-1 - 3\,;2 - 1)\), donc \(\overrightarrow{AB}(-4\,;1)\).

• Coordonnées de \(K\) : \(\left(\dfrac{3 + (-1)}{2}\,;\dfrac{1 + 2}{2}\right)\), donc \(K\left(1\,;\dfrac{3}{2}\right)\).

• Distance \(AB\) : \(AB = \sqrt{(-4)^{2} + 1^{2}}\), donc \(AB = \sqrt{17}\).

Propriété : égalité de deux vecteurs

Soient \(\vec{u}(x\,;y)\) et \(\vec{v}(x'\,;y')\) deux vecteurs du plan.

\[\vec{u} = \vec{v} \iff x = x' \ \text{ et } \ y = y'\]

Application 1

Soient \(\vec{u}(2x - 1\,;5)\) et \(\vec{v}(7\,;y + 2)\) deux vecteurs. Déterminer les réels \(x\) et \(y\) pour que \(\vec{u} = \vec{v}\).

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Dans toute la suite, le plan est rapporté à un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\).

II. Colinéarité de deux vecteurs

1. Déterminant de deux vecteurs

Définition

Soient \(\vec{u}(x\,;y)\) et \(\vec{v}(x'\,;y')\) deux vecteurs du plan.

Le nombre réel \(xy' - x'y\) est appelé déterminant des vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) (dans cet ordre). On le note \(\det(\vec{u}, \vec{v})\) :

\[\begin{aligned} \det(\vec{u}, \vec{v}) &= \begin{vmatrix} x & x' \\ y & y' \end{vmatrix} \\ &= xy' - x'y \end{aligned}\]

Exemple

On considère les vecteurs \(\vec{u}(2\,;3)\) et \(\vec{v}(3\,;4)\).

\[\begin{aligned} \det(\vec{u}, \vec{v}) &= \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} \\ &= 2 \times 4 - 3 \times 3 = -1 \end{aligned}\] \[\begin{aligned} \det(\vec{v}, \vec{u}) &= \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{vmatrix} \\ &= 3 \times 3 - 2 \times 4 = 1 \end{aligned}\] \[\begin{aligned} \det(2\vec{u}, \vec{v}) &= \begin{vmatrix} 4 & 3 \\ 6 & 4 \end{vmatrix} \\ &= 4 \times 4 - 3 \times 6 = -2 \end{aligned}\]

On remarque que \(\det(\vec{v}, \vec{u}) = -\det(\vec{u}, \vec{v})\) et que \(\det(2\vec{u}, \vec{v}) = 2\det(\vec{u}, \vec{v})\).

Remarque

Soient \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs et \(k\) un nombre réel. On a :

• \(\det(\vec{v}, \vec{u}) = -\det(\vec{u}, \vec{v})\) ;

• \(\det(k\vec{u}, \vec{v}) = \det(\vec{u}, k\vec{v}) = k\det(\vec{u}, \vec{v})\).

2. Condition de colinéarité

On rappelle que deux vecteurs sont colinéaires lorsque l’un est le produit de l’autre par un nombre réel.

Propriété

Soient \(\vec{u}(x\,;y)\) et \(\vec{v}(x'\,;y')\) deux vecteurs du plan.

\(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires si et seulement si :

\[\det(\vec{u}, \vec{v}) = 0\]

Exemple

On a \(\vec{u}(2\,;3)\) et \(\vec{v}\left(-1\,;-\dfrac{3}{2}\right)\). Donc :

\[\begin{aligned} \det(\vec{u}, \vec{v}) &= 2 \times \left(-\dfrac{3}{2}\right) - (-1) \times 3 \\ &= -3 + 3 = 0 \end{aligned}\]

Comme \(\det(\vec{u}, \vec{v}) = 0\), les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires. On vérifie d’ailleurs que \(\vec{u} = -2\vec{v}\).

Remarque

Trois points \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés si et seulement si les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires, c’est-à-dire \(\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = 0\).

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III. La droite dans le plan

1. Vecteur directeur d’une droite

Définition

Soit \((D)\) une droite passant par deux points distincts \(A\) et \(B\).

On appelle vecteur directeur de la droite \((D)\) tout vecteur non nul colinéaire au vecteur \(\overrightarrow{AB}\).

Exemple

Soit \((D)\) la droite d’équation réduite \(y = -x + 1\).

La droite \((D)\) passe par les points \(A(1\,;0)\) et \(B(0\,;1)\), car \(0 = -1 + 1\) et \(1 = -0 + 1\). Par conséquent, le vecteur \(\overrightarrow{AB}(-1\,;1)\) est un vecteur directeur de \((D)\).

Remarque

La droite qui passe par un point \(A\) et qui a pour vecteur directeur \(\vec{u}\) se note \(D(A, \vec{u})\).

2. Équation cartésienne d’une droite

Activité

On considère les points \(A(3\,;1)\) et \(B(-1\,;2)\), et un point \(M(x\,;y)\) de la droite \((AB)\).

1. Que peut-on dire des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AM}\) ?
2. En déduire la valeur de \(\det(\overrightarrow{AM}, \overrightarrow{AB})\).
3. Exprimer \(\det(\overrightarrow{AM}, \overrightarrow{AB})\) en fonction de \(x\) et \(y\).

Définition

Toute droite du plan admet une équation de la forme :

\[ax + by + c = 0\]

où \(a\), \(b\) et \(c\) sont des nombres réels tels que \((a\,;b) \neq (0\,;0)\).

Cette équation est appelée équation cartésienne de la droite.

Propriété

Soient \(a\), \(b\) et \(c\) des nombres réels tels que \((a\,;b) \neq (0\,;0)\).

L’ensemble des points \(M(x\,;y)\) du plan qui vérifient \(ax + by + c = 0\) est une droite de vecteur directeur \(\vec{u}(-b\,;a)\).

Remarques

• Soient \((D)\) la droite passant par un point \(A\) et de vecteur directeur \(\vec{u}\), et \(M(x\,;y)\) un point du plan. Alors :

\[\begin{aligned} &M \in D(A, \vec{u}) \\ &\iff \overrightarrow{AM} \text{ et } \vec{u} \text{ sont colinéaires} \\ &\iff \det(\overrightarrow{AM}, \vec{u}) = 0 \end{aligned}\]

C’est cette équivalence qui permet de trouver une équation cartésienne.

• Une droite admet une infinité d’équations cartésiennes : en multipliant \(ax + by + c = 0\) par un réel non nul, on obtient une autre équation de la même droite.

Exemple

On considère les points \(A(-3\,;1)\) et \(B(-1\,;4)\). Déterminons une équation cartésienne de la droite \((AB)\).

On a \(\overrightarrow{AB}(2\,;3)\) et, pour tout point \(M(x\,;y)\), \(\overrightarrow{AM}(x + 3\,;y - 1)\).

\[\begin{aligned} &M \in (AB) \\ &\iff \det(\overrightarrow{AM}, \overrightarrow{AB}) = 0 \\ &\iff 3(x + 3) - 2(y - 1) = 0 \\ &\iff 3x - 2y + 11 = 0 \end{aligned}\]

Donc \(3x - 2y + 11 = 0\) est une équation cartésienne de la droite \((AB)\).

Application 2

1) Déterminer une équation cartésienne de la droite \(D(A, \vec{u})\), où \(A(1\,;-2)\) et \(\vec{u}(2\,;3)\).

2) Déterminer une équation cartésienne de la droite \((BC)\), où \(B(-1\,;2)\) et \(C(3\,;-4)\).

3. Représentation paramétrique d’une droite

Activité

Soit \((D)\) la droite passant par le point \(A(2\,;1)\) et de vecteur directeur \(\vec{u}(3\,;-2)\), et soit \(M(x\,;y)\) un point de \((D)\).

1. Justifier qu’il existe un nombre réel \(t\) tel que \(\overrightarrow{AM} = t\vec{u}\).
2. En déduire les coordonnées du point \(M\) en fonction de \(t\).

Définition

Soient \(A(x_A\,;y_A)\) un point du plan et \(\vec{u}(\alpha\,;\beta)\) un vecteur non nul.

Le système :

\[\begin{cases} x = x_A + \alpha t \\ y = y_A + \beta t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})\]

est appelé représentation paramétrique de la droite passant par \(A\) et de vecteur directeur \(\vec{u}\). Le réel \(t\) est le paramètre.

Exemple

Soit \((D)\) la droite passant par le point \(A(2\,;-1)\) et de vecteur directeur \(\vec{u}(-1\,;3)\). Une représentation paramétrique de \((D)\) est :

\[\begin{cases} x = 2 - t \\ y = -1 + 3t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})\]

Pour \(t = 0\), on retrouve le point \(A(2\,;-1)\) ; pour \(t = 1\), on obtient le point \((1\,;2)\) de \((D)\).

Remarque

Une droite admet une infinité de représentations paramétriques : elles dépendent du point et du vecteur directeur choisis.

Application 3

Soient \(A(1\,;-3)\) et \(B(4\,;3)\) deux points du plan.

1) Déterminer une représentation paramétrique de la droite \((AB)\).

2) Les points \(C(3\,;1)\) et \(E(2\,;0)\) appartiennent-ils à la droite \((AB)\) ?

3) Déterminer une équation cartésienne de la droite \((D)\) définie par :

\[\begin{cases} x = -1 + 2t \\ y = 3 - 4t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})\]

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IV. Positions relatives de deux droites

Propriété

Soient \((D)\) et \((D')\) deux droites du plan d’équations cartésiennes :

\[(D) : ax + by + c = 0\] \[(D') : a'x + b'y + c' = 0\]

• \((D)\) et \((D')\) sont parallèles si et seulement si \(ab' - a'b = 0\).

• \((D)\) et \((D')\) sont sécantes si et seulement si \(ab' - a'b \neq 0\).

• En particulier, \((D)\) et \((D')\) sont perpendiculaires si et seulement si \(aa' + bb' = 0\).

Remarques

• Le nombre \(ab' - a'b\) est le déterminant des vecteurs directeurs \(\vec{u}(-b\,;a)\) et \(\vec{u'}(-b'\,;a')\) des deux droites.

• Deux droites parallèles sont soit confondues (elles ont les mêmes points), soit strictement parallèles (elles n’ont aucun point commun). Pour trancher, on choisit un point de \((D)\) et on teste s’il appartient à \((D')\).

Exemple

Soient les droites \((D) : 3x - y - 1 = 0\) et \((D') : -2x + \dfrac{2}{3}y + 1 = 0\).

On a \(a = 3\), \(b = -1\), \(a' = -2\) et \(b' = \dfrac{2}{3}\). Donc :

\[\begin{aligned} ab' - a'b &= 3 \times \dfrac{2}{3} - (-2) \times (-1) \\ &= 2 - 2 = 0 \end{aligned}\]

Donc \((D) \parallel (D')\).

De plus, le point \(A(0\,;-1)\) appartient à \((D)\), et \(-2 \times 0 + \dfrac{2}{3} \times (-1) + 1 = \dfrac{1}{3} \neq 0\), donc \(A \notin (D')\) : les deux droites sont strictement parallèles.

Application 4

Étudier la position relative des droites \((D)\) et \((D')\) dans chacun des cas suivants :

a) \((D) : 4x - 2y + 1 = 0\) et \((D') : 2x - \dfrac{1}{2}y - 3 = 0\)

b) \((D) : x - 3y + 2 = 0\) et \((D') : -2x + 6y + 5 = 0\)

c) \((D) : 3x - 4y + 2 = 0\) et \((D') : 4x + 3y - 1 = 0\)

d) \((D) : 2x + y - 4 = 0\) et \((D') : -x - \dfrac{1}{2}y + 2 = 0\)