Calcul trigonométrique (partie 1)

Dans tout le chapitre, le plan est muni d’un repère orthonormé \((O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ})\).

I. Cercle trigonométrique – Abscisses curvilignes

1. Cercle trigonométrique

Définition

On appelle cercle trigonométrique le cercle \((C)\) de centre \(O\) et de rayon \(1\), orienté dans le sens direct (sens contraire à celui des aiguilles d’une montre, appelé aussi sens positif).

Le point \(I\) est appelé l’origine du cercle \((C)\).

2. Unités de mesure des angles

Activité

Soit \(M\) un point du cercle trigonométrique \((C)\) et \(\alpha\) la mesure en degrés de l’angle \(\widehat{IOM}\). Sachant que le périmètre de \((C)\) est \(2\pi\), calculer la longueur de l’arc \(\overset{\frown}{IM}\) lorsque \(\alpha\) vaut \(360^{\circ}\), \(180^{\circ}\), \(90^{\circ}\), \(60^{\circ}\), \(45^{\circ}\), puis \(30^{\circ}\).

Définition

Soit \(M\) un point du cercle trigonométrique \((C)\).

• La longueur de l’arc \(\overset{\frown}{IM}\) intercepté par l’angle géométrique \(\widehat{IOM}\) est la mesure de cet angle en radians (unité notée rad). Un angle plat mesure \(\pi\) rad.

• Il existe une autre unité de mesure des angles, le grade (noté gr) : un angle plat mesure \(200\) gr.

Remarque

Les mesures d’un angle sont proportionnelles : si \(\alpha\), \(\beta\) et \(\gamma\) sont les mesures d’un même angle en degrés, en radians et en grades, alors :

Application 1

Compléter les égalités suivantes :

a) \(72^{\circ} = \ldots\) rad \(= \ldots\) gr

b) \(\dfrac{5\pi}{6}\) rad \(= \ldots^{\circ} = \ldots\) gr

c) \(150\) gr \(= \ldots^{\circ} = \ldots\) rad

d) \(\dfrac{\pi}{10}\) rad \(= \ldots^{\circ} = \ldots\) gr

e) \(108^{\circ} = \ldots\) rad \(= \ldots\) gr

Dans toute la suite, l’unité de mesure des angles est le radian, et on n’écrit plus « rad ».

3. Abscisses curvilignes

Définition

Soit \((C)\) le cercle trigonométrique d’origine \(I\).

À tout nombre réel \(x\) on associe un unique point \(M\) de \((C)\) : on dit que \(x\) est une abscisse curviligne du point \(M\).

Si \(\alpha\) est une abscisse curviligne de \(M\), alors les abscisses curvilignes de \(M\) sont les nombres \(\alpha + 2k\pi\), où \(k \in \mathbb{Z}\). On écrit \(M(\alpha + 2k\pi)\).

Remarques

• Tout point \(M\) de \((C)\) admet une infinité d’abscisses curvilignes.

• Une seule d’entre elles appartient à l’intervalle \(]-\pi\,;\pi]\) : on l’appelle l’abscisse curviligne principale du point \(M\).

Méthode

Pour déterminer l’abscisse curviligne principale \(\alpha_0\) d’un point d’abscisse curviligne \(\alpha\), on écrit \(\alpha\) sous la forme :

\[\alpha = \alpha_0 + 2k\pi\]

avec \(k \in \mathbb{Z}\) et \(\alpha_0 \in \,]-\pi\,;\pi]\).

Exemple

Déterminons l’abscisse curviligne principale du point \(A\left(\dfrac{25\pi}{4}\right)\).

Comme \(\dfrac{\pi}{4} \in \,]-\pi\,;\pi]\), l’abscisse curviligne principale du point \(A\) est \(\dfrac{\pi}{4}\).

Application 2

Déterminer l’abscisse curviligne principale de chacun des points suivants :

\(A\left(\dfrac{9\pi}{2}\right)\) ; \(B\left(\dfrac{59\pi}{4}\right)\) ; \(C\left(\dfrac{31\pi}{6}\right)\) ; \(D\left(-\dfrac{13\pi}{3}\right)\)

II. Angles orientés

1. Angle orienté de deux demi-droites

Dans le plan orienté, on considère deux demi-droites \([OX)\) et \([OY)\) de même origine \(O\). Le couple \(([OX), [OY))\) détermine un angle orienté de deux demi-droites, noté \(\left(\overline{OX, OY}\right)\). L’ordre compte : l’angle \(\left(\overline{OY, OX}\right)\) est parcouru dans l’autre sens.

Définition

Soient \((C)\) le cercle trigonométrique de centre \(O\), et \(A(a)\), \(B(b)\) les points d’intersection de \((C)\) avec les demi-droites \([OX)\) et \([OY)\).

On appelle mesure de l’angle orienté \(\left(\overline{OX, OY}\right)\) tout réel de la forme \((b - a) + 2k\pi\), avec \(k \in \mathbb{Z}\). On écrit :

\[\left(\overline{OX, OY}\right) \equiv b - a \ [2\pi]\]

et on lit : « la mesure de l’angle est congrue à \(b - a\) modulo \(2\pi\) ».

Remarque

Parmi toutes les mesures d’un angle orienté, une seule appartient à l’intervalle \(]-\pi\,;\pi]\) : c’est sa mesure principale.

2. Angle orienté de deux vecteurs

Soient \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs non nuls, et \(A\), \(B\) les points tels que \(\overrightarrow{OA} = \vec{u}\) et \(\overrightarrow{OB} = \vec{v}\). L’angle orienté des vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\), noté \(\left(\overline{\vec{u}, \vec{v}}\right)\), est l’angle orienté des demi-droites \([OA)\) et \([OB)\).

Propriété (relation de Chasles)

Soient \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\) trois vecteurs non nuls du plan orienté. On a :

\[\begin{aligned} &\left(\overline{\vec{u}, \vec{w}}\right) + \left(\overline{\vec{w}, \vec{v}}\right) \\ &\qquad \equiv \left(\overline{\vec{u}, \vec{v}}\right) \ [2\pi] \end{aligned}\]

Propriété

Soient \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs non nuls du plan orienté.

• \(\left(\overline{\vec{u}, \vec{u}}\right) \equiv 0 \ [2\pi]\) et \(\left(\overline{\vec{u}, -\vec{u}}\right) \equiv \pi \ [2\pi]\)

• \(\left(\overline{\vec{v}, \vec{u}}\right) \equiv -\left(\overline{\vec{u}, \vec{v}}\right) \ [2\pi]\)

• \(\left(\overline{-\vec{u}, -\vec{v}}\right) \equiv \left(\overline{\vec{u}, \vec{v}}\right) \ [2\pi]\)

• \(\left(\overline{\vec{u}, -\vec{v}}\right) \equiv \left(\overline{\vec{u}, \vec{v}}\right) + \pi \ [2\pi]\)

• \(\left(\overline{-\vec{u}, \vec{v}}\right) \equiv \left(\overline{\vec{u}, \vec{v}}\right) + \pi \ [2\pi]\)

Conséquence

Soient \(k\) et \(k'\) deux réels non nuls.

• Si \(k\) et \(k'\) ont le même signe, alors \(\left(\overline{k\vec{u}, k'\vec{v}}\right) \equiv \left(\overline{\vec{u}, \vec{v}}\right) \ [2\pi]\).

• Si \(k\) et \(k'\) sont de signes contraires, alors \(\left(\overline{k\vec{u}, k'\vec{v}}\right) \equiv \left(\overline{\vec{u}, \vec{v}}\right) + \pi \ [2\pi]\).

Application 3

Soient \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\) trois vecteurs non nuls tels que \(\left(\overline{\vec{v}, \vec{u}}\right) \equiv \dfrac{\pi}{6} \ [2\pi]\) et \(\left(\overline{\vec{v}, \vec{w}}\right) \equiv \dfrac{2\pi}{3} \ [2\pi]\).

Déterminer la mesure principale de l’angle \(\left(\overline{\vec{u}, \vec{w}}\right)\), puis celle de l’angle \(\left(\overline{-\vec{u}, \vec{w}}\right)\).

Application 4

Sur la figure ci-dessous, \(ABC\) est un triangle équilatéral et \(ACD\) est un triangle rectangle isocèle en \(C\).

Déterminer la mesure principale de chacun des angles orientés suivants :

\(\left(\overline{\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}}\right)\) ; \(\left(\overline{\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}}\right)\)

\(\left(\overline{\overrightarrow{CA}, \overrightarrow{CD}}\right)\) ; \(\left(\overline{\overrightarrow{CB}, \overrightarrow{CD}}\right)\)

III. Rapports trigonométriques d’un nombre réel

1. Cosinus, sinus et tangente

Définitions

Soient \((C)\) le cercle trigonométrique, \(x\) un nombre réel et \(M\) le point de \((C)\) d’abscisse curviligne \(x\).

• L’abscisse du point \(M\) est appelée cosinus du réel \(x\) ; on la note \(\cos x\).

• L’ordonnée du point \(M\) est appelée sinus du réel \(x\) ; on la note \(\sin x\).

• Soit \((\Delta)\) la droite passant par \(I\) et parallèle à \((OJ)\). Si \(x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi\) (\(k \in \mathbb{Z}\)), la droite \((OM)\) coupe \((\Delta)\) en un point \(T\) : l’ordonnée de \(T\) est appelée tangente du réel \(x\) ; on la note \(\tan x\).

Ainsi \(M\) a pour coordonnées \((\cos x\,;\sin x)\).

2. Propriétés

Propriétés

Pour tout réel \(x\) et tout entier relatif \(k\) :

• \(-1 \leq \cos x \leq 1\) et \(-1 \leq \sin x \leq 1\)

• \(\cos(x + 2k\pi) = \cos x\) et \(\sin(x + 2k\pi) = \sin x\)

• \(\cos^{2} x + \sin^{2} x = 1\)

Si de plus \(x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi\) :

• \(\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}\)

• \(1 + \tan^{2} x = \dfrac{1}{\cos^{2} x}\)

• \(\tan(x + k\pi) = \tan x\)

3. Signe du cosinus, du sinus et de la tangente

Le signe de \(\cos x\), de \(\sin x\) et de \(\tan x\) dépend du quart de cercle où se trouve le point \(M\) d’abscisse curviligne \(x\) :

Application 5

1) Soit \(x \in \left]\dfrac{\pi}{2}\,;\pi\right[\) tel que \(\sin x = \dfrac{5}{13}\). Calculer \(\cos x\) et \(\tan x\).

2) Montrer que pour tout réel \(x\) : \(\cos^{4} x - \sin^{4} x = 1 - 2\sin^{2} x\).

4. Relations entre les rapports trigonométriques

Propriété 1

Pour tout réel \(x\) :

\[\begin{cases} \cos(-x) = \cos x \\ \sin(-x) = -\sin x \\ \tan(-x) = -\tan x \end{cases}\] \[\begin{cases} \cos(\pi - x) = -\cos x \\ \sin(\pi - x) = \sin x \\ \tan(\pi - x) = -\tan x \end{cases}\] \[\begin{cases} \cos(\pi + x) = -\cos x \\ \sin(\pi + x) = -\sin x \\ \tan(\pi + x) = \tan x \end{cases}\]

(les égalités avec la tangente sont valables pour \(x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi\), \(k \in \mathbb{Z}\)).

Propriété 2

Pour tout réel \(x\) :

\[\begin{cases} \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \sin x \\[2mm] \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \cos x \\[2mm] \tan\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \dfrac{1}{\tan x} \end{cases}\] \[\begin{cases} \cos\left(\dfrac{\pi}{2} + x\right) = -\sin x \\[2mm] \sin\left(\dfrac{\pi}{2} + x\right) = \cos x \\[2mm] \tan\left(\dfrac{\pi}{2} + x\right) = -\dfrac{1}{\tan x} \end{cases}\]

(les égalités avec la tangente sont valables pour \(x \neq k\dfrac{\pi}{2}\), \(k \in \mathbb{Z}\)).

Application 6

Simplifier les expressions suivantes, où \(x\) est un réel :

5. Rapports trigonométriques des angles usuels

La tangente de \(\dfrac{\pi}{2}\) n’est pas définie (case barrée).

Application 7

Calculer :

\(\sin\left(\dfrac{29\pi}{6}\right)\) ; \(\cos\left(-\dfrac{25\pi}{3}\right)\) ; \(\sin\left(\dfrac{19\pi}{4}\right)\) ; \(\cos\left(-\dfrac{14\pi}{3}\right)\)