Ensembles des nombres

I. Définitions et notations

Activité

On considère les nombres suivants :

\(-\dfrac{\sqrt{9}}{3}\) ; \(\dfrac{5}{2}\) ; \(13{,}5\) ; \(7\) ; \(\sqrt{2}\) ; \(\dfrac{2}{3}\)

Pour chacun de ces nombres, dire s’il est un entier naturel, un entier relatif, un nombre décimal, un nombre rationnel, un nombre réel.

Définitions

• Les nombres entiers naturels forment un ensemble qu’on note \(\mathbb{N}\) :

\[\mathbb{N} = \{0\,;1\,;2\,;3\,;4\,;5\,;\ldots\}\]

• Les nombres entiers relatifs forment un ensemble qu’on note \(\mathbb{Z}\) :

\[\mathbb{Z} = \{\ldots\,;-2\,;-1\,;0\,;1\,;2\,;\ldots\}\]

• Les nombres décimaux forment un ensemble qu’on note \(\mathbb{D}\) :

\[\mathbb{D} = \left\{\dfrac{a}{10^{n}} \ / \ a \in \mathbb{Z} \text{ et } n \in \mathbb{N}\right\}\]

• Les nombres rationnels forment un ensemble qu’on note \(\mathbb{Q}\) :

\[\mathbb{Q} = \left\{\dfrac{a}{b} \ / \ a \in \mathbb{Z} \text{ et } b \in \mathbb{Z}^{*}\right\}\]

• Les nombres rationnels et les nombres irrationnels forment l’ensemble des nombres réels, qu’on note \(\mathbb{R}\).

Remarque

Tout entier naturel est un entier relatif, tout entier relatif est un nombre décimal, tout nombre décimal est un nombre rationnel et tout nombre rationnel est un nombre réel :

\[\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\]

Application 1

Compléter par l’un des symboles \(\in\), \(\notin\), \(\subset\) ou \(\not\subset\) :

\(23 \,\ldots\, \mathbb{N}\) ; \(\dfrac{3\pi}{4} \,\ldots\, \mathbb{Q}\) ; \(\sqrt{7} \,\ldots\, \mathbb{Q}\) ; \(-\dfrac{2}{5} \,\ldots\, \mathbb{R}\) ; \(\dfrac{5}{8} \,\ldots\, \mathbb{D}\) ; \(-\sqrt{\dfrac{27}{3}} \,\ldots\, \mathbb{Z}\)

\(\mathbb{Z} \,\ldots\, \mathbb{Q}\) ; \(\mathbb{Q} \,\ldots\, \mathbb{D}\) ; \(\mathbb{D} \,\ldots\, \mathbb{R}\) ; \(\mathbb{R} \,\ldots\, \mathbb{Q}\) ; \(\mathbb{N} \,\ldots\, \mathbb{Z}^{*}\) ; \(\mathbb{N}^{*} \,\ldots\, \mathbb{Z}\)

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II. Opérations dans \(\mathbb{R}\)

1. Addition dans \(\mathbb{R}\)

Propriétés

Soient \(a\), \(b\) et \(c\) trois nombres réels.

• \(a + b = b + a\) : on dit que l’addition est commutative.

• \((a + b) + c = a + (b + c)\) : on dit que l’addition est associative.

• \(a + 0 = 0 + a = a\) : on dit que \(0\) est l’élément neutre de l’addition dans \(\mathbb{R}\).

• \(a + (-a) = a - a = 0\) : on dit que \(-a\) est l’opposé de \(a\).

2. Multiplication dans \(\mathbb{R}\)

Propriétés

Soient \(a\), \(b\) et \(c\) trois nombres réels.

• \(a \times b = b \times a\) : on dit que la multiplication est commutative.

• \((a \times b) \times c = a \times (b \times c)\) : on dit que la multiplication est associative.

• \(a \times 1 = 1 \times a = a\) : on dit que \(1\) est l’élément neutre de la multiplication dans \(\mathbb{R}\).

• Si \(a \neq 0\), alors \(a \times \dfrac{1}{a} = 1\) : on dit que \(\dfrac{1}{a}\) est l’inverse de \(a\).

3. Opérations sur les fractions

Propriétés

Soient \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) des nombres réels tels que \(b \neq 0\) et \(d \neq 0\).

• \(\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{ad + bc}{bd}\)

• \(\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times c}{b \times d}\)

• Si \(c \neq 0\), alors \(\dfrac{\ \dfrac{a}{b}\ }{c} = \dfrac{a}{bc}\) et \(\dfrac{\ \dfrac{a}{b}\ }{\dfrac{c}{d}} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c} = \dfrac{ad}{bc}\).

• \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\) équivaut à \(ad = bc\).

Application 2

1) Calculer et simplifier :

\[A = \dfrac{3}{4} - 2 + \dfrac{5}{6} - \dfrac{7}{12}\] \[B = \dfrac{\dfrac{1}{3} + 2}{1 - \dfrac{1}{3}} + \dfrac{\dfrac{3}{2} - 1}{1 + \dfrac{3}{2}}\]

2) Soient \(x\) et \(y\) deux nombres réels non nuls tels que \(x + y \neq 0\) et \(x - y \neq 0\). Simplifier l’expression suivante :

\[E = \dfrac{\dfrac{1}{x}}{\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} + \dfrac{\dfrac{1}{y}}{\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{y}}\]

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III. Puissances – Écriture scientifique – Racines carrées

1. Écriture scientifique

Définition

Soit \(x\) un nombre décimal non nul.

L’écriture scientifique de \(x\) est l’écriture \(x = a \times 10^{p}\), où \(p \in \mathbb{Z}\) et \(a\) est un nombre décimal tel que :

• \(1 \leq a < 10\) si \(x > 0\) ;

• \(-10 < a \leq -1\) si \(x < 0\).

Exemples

• Le nombre d’Avogadro :

\[\begin{aligned} N_A &= 6023{,}045 \times 10^{20} \\ &= 6{,}023045 \times 10^{23} \end{aligned}\]

• La vitesse de la lumière dans le vide (en m/s) :

\[c = 300\,000\,000 = 3 \times 10^{8}\]

Application 3

1) Donner l’écriture scientifique des nombres suivants :

\(4725{,}8\) ; \(-612{,}45\) ; \(0{,}00078\) ; \(56432{,}75 \times 10^{-6}\) ; \(15 \times 10^{-4} \times 0{,}0002\)

2) Simplifier les nombres suivants :

\[A = 5^{4} \times 2^{3} \times 1000 \times 16 \times 25\] \[B = \dfrac{3{,}6 \times 10^{-4} \times 4{,}5 \times 10^{6}}{1{,}5 \times 10^{3} \times 0{,}9 \times 10^{-2}}\]

2. Les puissances

Propriété

Soient \(a\) et \(b\) deux nombres réels non nuls et soient \(m\) et \(n\) deux entiers relatifs. On a :

• \(a^{n} \times a^{m} = a^{n+m}\)

• \(\dfrac{a^{n}}{a^{m}} = a^{n-m}\)

• \((a^{n})^{m} = a^{n \times m}\)

• \(a^{-n} = \dfrac{1}{a^{n}}\)

• \((a \times b)^{n} = a^{n} \times b^{n}\)

• \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^{n} = \dfrac{a^{n}}{b^{n}}\)

Application 4

1) Soient \(x\), \(y\) et \(z\) trois nombres réels non nuls. Simplifier les expressions suivantes :

\[A = \dfrac{(xy^{2})^{-2} \times z^{3}}{x^{2}y \times z^{-2}}\] \[B = \dfrac{(xy^{2})^{-2} \times x^{4}z^{-1}}{y(xz)^{2} \times x^{-1}}\]

2) On considère le nombre :

\[E = \dfrac{12^{6} \times 25^{-3}}{15^{6} \times 4^{2}}\]

Déterminer les entiers relatifs \(n\) et \(m\) tels que \(E = 2^{n} \times 5^{m}\).

3. Les racines carrées

Définition

Soit \(a \in \mathbb{R}^{+}\).

La racine carrée de \(a\) est le nombre réel positif \(b\) qui vérifie \(b^{2} = a\) ; on écrit \(b = \sqrt{a}\).

Propriété

Soient \(a \in \mathbb{R}^{+}\) et \(b \in \mathbb{R}^{+}\). On a :

• \(\sqrt{a^{2}} = \left(\sqrt{a}\right)^{2} = a\)

• \(\sqrt{a^{n}} = \left(\sqrt{a}\right)^{n}\) pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\)

• \(\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}\)

• \(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}\) si \(b \neq 0\)

• \(\dfrac{1}{\sqrt{a}} = \dfrac{\sqrt{a}}{a}\) si \(a \neq 0\)

• \(\sqrt{a} = \sqrt{b}\) équivaut à \(a = b\)

Remarque

Soit \(a\) un nombre réel quelconque :

• si \(a \geq 0\), alors \(\sqrt{a^{2}} = a\) ;

• si \(a < 0\), alors \(\sqrt{a^{2}} = -a\).

Application 5

1) Montrer que :

\[\sqrt{1 + \dfrac{5}{13}} \times \sqrt{1 - \dfrac{5}{13}} \in \mathbb{Q}\]

2) Soient \(a\) et \(b\) deux nombres réels positifs. Simplifier l’expression suivante :

\[\begin{aligned} E = \ &\sqrt{a^{5}} \times \sqrt{a \times b^{2}} - \sqrt{\sqrt{(ab)^{4}}} \\ &+ \sqrt{b} \times \sqrt{a^{2} \times b} \end{aligned}\]

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IV. Identités remarquables

Activité

Soient \(a\) et \(b\) deux nombres réels. Développer les expressions suivantes :

\((a + b)^{2}\) ; \((a - b)^{2}\) ; \((a - b)(a + b)\) ; \((a + b)(a^{2} - ab + b^{2})\) ; \((a - b)(a^{2} + ab + b^{2})\) ; \((a + b)(a + b)^{2}\) ; \((a - b)(a - b)^{2}\)

Propriété

Soient \(a\) et \(b\) deux nombres réels. On a :

• \((a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}\)

• \((a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}\)

• \((a - b)(a + b) = a^{2} - b^{2}\)

• \((a + b)^{3} = a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}\)

• \((a - b)^{3} = a^{3} - 3a^{2}b + 3ab^{2} - b^{3}\)

• \((a + b)(a^{2} - ab + b^{2}) = a^{3} + b^{3}\)

• \((a - b)(a^{2} + ab + b^{2}) = a^{3} - b^{3}\)

Application 6

1) Développer puis réduire les expressions suivantes :

\[A = (3x - 1)^{2} + (x + 1)^{3}\] \[B = (x + 3)(x^{2} - 3x + 9)\] \[C = (x - 2)(x^{2} + 2x + 4)\] \[D = (2x + 1)^{3} - (x - 3)^{2}\]

2) Factoriser les expressions suivantes :

\[\begin{aligned} E = \ &x^{2} - 9 + (x + 2)(x - 3) \\ &- 2(x - 3)^{2} \end{aligned}\] \[F = x^{3} - 8 + 3(x^{2} - 4) - 5x + 10\] \[G = 4x^{2} - 20x + 25\] \[H = x^{3} + 8 + 2(x^{2} - 4) - x - 2\]