Statistiques

I. Vocabulaire des statistiques

Activité 1

Un professeur a relevé les notes obtenues par \(8\) élèves à un devoir :

9 – 11 – 12 – 11 – 14 – 12 – 11 – 9

1) Sur combien d’élèves porte ce relevé ?

2) Quelles sont les différentes notes obtenues ?

3) Combien d’élèves ont obtenu la note \(11\) ?

4) Combien d’élèves ont obtenu une note inférieure ou égale à \(11\) ?

1. Population et caractère statistique

Définitions

• La population statistique est l’ensemble étudié. Chacun de ses éléments est appelé individu (ou unité statistique).

• Le caractère statistique (ou variable statistique) est la propriété que l’on étudie chez les individus. Il peut être :

– quantitatif, s’il s’exprime par un nombre (exemples : l’âge, la taille, une note, le nombre de frères et sœurs) ;

– qualitatif, s’il ne s’exprime pas par un nombre (exemples : la couleur des yeux, la ville de naissance, le sport préféré).

Exemple

Dans l’activité 1, la population est l’ensemble des \(8\) élèves, chaque élève est un individu et le caractère étudié est la note : c’est un caractère quantitatif.

2. Effectif et effectif cumulé

Définition

L’effectif d’une valeur \(x_i\) du caractère est le nombre d’individus qui ont cette valeur. On le note \(n_i\).

La somme de tous les effectifs est l’effectif total de la série. On le note \(N\).

Exemple 1

On range dans un tableau les notes de l’activité 1 :

Note \(x_i\)	9	11	12	14
Effectif \(n_i\)	2	3	2	1

L’effectif total est \(N = 2 + 3 + 2 + 1 = 8\).

Définition

L’effectif cumulé croissant d’une valeur est la somme de son effectif et des effectifs de toutes les valeurs qui lui sont inférieures.

Exemple 2

Dans la série de l’exemple 1, l’effectif cumulé croissant de la note \(12\) est \(2 + 3 + 2 = 7\) : sept élèves ont une note inférieure ou égale à \(12\).

Note \(x_i\)	9	11	12	14
Effectif \(n_i\)	2	3	2	1
Effectif cumulé	2	5	7	8

Le dernier effectif cumulé est toujours égal à l’effectif total \(N\).

3. Fréquence et pourcentage

Définitions

• La fréquence de la valeur \(x_i\) est le nombre noté \(f_i\) défini par :

\[f_i = \dfrac{n_i}{N}\]

• Le pourcentage de la valeur \(x_i\) est le nombre noté \(p_i\) défini par :

\[p_i = f_i \times 100\]

• La fréquence cumulée croissante d’une valeur est la somme de sa fréquence et des fréquences de toutes les valeurs qui lui sont inférieures.

Exemple 3

Dans la série de l’exemple 1, la fréquence de la note \(9\) est \(f_1 = \dfrac{2}{8} = 0{,}25\) ; son pourcentage est \(p_1 = 25\,\%\).

Exemple 4

On a demandé à \(20\) élèves le nombre d’heures de sport qu’ils pratiquent chaque semaine :

Heures \(x_i\)	1	2	3	4	5
Effectif \(n_i\)	2	5	6	4	3
Effectif cumulé	2	7	13	17	20
Fréquence \(f_i\)	0,1	0,25	0,3	0,2	0,15
Fréquence cumulée	0,1	0,35	0,65	0,85	1
Pourcentage \(p_i\)	10	25	30	20	15

Remarque

La somme des fréquences est égale à \(1\) et la somme des pourcentages est égale à \(100\). La dernière fréquence cumulée est donc toujours égale à \(1\).

4. Représentations graphiques

On peut représenter une série statistique à caractère quantitatif par un diagramme en bâtons : au-dessus de chaque valeur \(x_i\), on trace un bâton dont la hauteur est l’effectif \(n_i\). En joignant les sommets des bâtons, on obtient le polygone statistique.

Voici le diagramme en bâtons (en bleu) et le polygone statistique (en rouge) de la série de l’exemple 4 :

Remarque : séries regroupées en classes

Lorsque les valeurs du caractère sont nombreuses, on les regroupe en classes : ce sont des intervalles de la forme \([a\,;b[\). Le centre de la classe \([a\,;b[\) est le nombre \(\dfrac{a + b}{2}\) ; dans les calculs, il joue le rôle de la valeur \(x_i\). Une telle série se représente par un histogramme : chaque classe est la base d’un rectangle dont la hauteur est l’effectif (lorsque les classes ont la même amplitude).

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II. Paramètres de position

1. Le mode

Définition

Le mode d’une série statistique est la valeur du caractère qui a le plus grand effectif. Pour une série regroupée en classes, la classe qui a le plus grand effectif est appelée classe modale.

Exemples

• Dans l’exemple 1, la note \(11\) a le plus grand effectif (\(3\)) : le mode est \(11\).

• Dans l’exemple 4, la valeur \(3\) a le plus grand effectif (\(6\)) : le mode est \(3\).

2. La médiane

Définition

La médiane d’une série statistique est la plus petite valeur du caractère dont l’effectif cumulé croissant est supérieur ou égal à la moitié de l’effectif total, c’est-à-dire à \(\dfrac{N}{2}\).

Exemples

• Dans l’exemple 2, la moitié de l’effectif total est \(\dfrac{8}{2} = 4\). La plus petite note dont l’effectif cumulé est supérieur ou égal à \(4\) est \(11\) (effectif cumulé \(5\)). La médiane est donc \(11\).

• Dans l’exemple 4, la moitié de l’effectif total est \(\dfrac{20}{2} = 10\). La plus petite valeur dont l’effectif cumulé est supérieur ou égal à \(10\) est \(3\) (effectif cumulé \(13\)). La médiane est donc \(3\).

3. La moyenne arithmétique

Définition

La moyenne arithmétique d’une série statistique de valeurs \(x_1, x_2, \ldots, x_p\) et d’effectifs \(n_1, n_2, \ldots, n_p\) est le nombre noté \(\bar{x}\) défini par :

\[\bar{x} = \dfrac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + \cdots + n_p x_p}{N}\]

où \(N\) est l’effectif total. On peut aussi la calculer avec les fréquences :

\[\bar{x} = f_1 x_1 + f_2 x_2 + \cdots + f_p x_p\]

Exemple

Pour la série de l’exemple 4, les produits \(n_i x_i\) sont \(2 \times 1 = 2\), \(5 \times 2 = 10\), \(6 \times 3 = 18\), \(4 \times 4 = 16\) et \(3 \times 5 = 15\). Donc :

\[\begin{aligned} \bar{x} &= \dfrac{2 + 10 + 18 + 16 + 15}{20} \\[2mm] &= \dfrac{61}{20} = 3{,}05 \end{aligned}\]

En moyenne, ces élèves pratiquent \(3{,}05\) heures de sport par semaine.

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III. Paramètres de dispersion

Activité 2

Les tableaux suivants donnent les notes obtenues à un même devoir par deux groupes de \(10\) élèves.

Premier groupe :

Note	9	10	11	12	13
Effectif	1	2	4	2	1

Deuxième groupe :

Note	3	6	11	16	19
Effectif	1	2	4	2	1

1) Déterminer le mode, la médiane et la moyenne arithmétique de chacune des deux séries.

2) Les deux groupes ont-ils pour autant des résultats semblables ?

Constat. Les deux séries ont les mêmes paramètres de position (mode \(11\), médiane \(11\), moyenne \(11\)). Pourtant, les notes du premier groupe sont regroupées autour de \(11\), alors que celles du deuxième groupe en sont très éloignées. Pour mesurer cette différence, on utilise des paramètres de dispersion.

1. L’écart moyen

Définition

Soit une série statistique de moyenne \(\bar{x}\) et d’effectif total \(N\). Pour chaque valeur \(x_i\), on note \(d_i = |x_i - \bar{x}|\) son écart à la moyenne.

L’écart moyen de la série est le nombre :

\[e = \dfrac{n_1 d_1 + n_2 d_2 + \cdots + n_p d_p}{N}\]

Exemple

Reprenons les notes du premier groupe de l’activité 2, de moyenne \(\bar{x} = 11\) :

Note \(x_i\)	9	10	11	12	13
Effectif \(n_i\)	1	2	4	2	1
Écart \(d_i\)	2	1	0	1	2

La somme des produits \(n_i d_i\) est \(2 + 2 + 0 + 2 + 2 = 8\). Donc :

\[e_1 = \dfrac{8}{10} = 0{,}8\]

Pour le deuxième groupe, les écarts sont \(8\), \(5\), \(0\), \(5\) et \(8\) ; le même calcul donne \(e_2 = \dfrac{36}{10} = 3{,}6\). On a \(e_1 < e_2\) : les notes du premier groupe sont moins dispersées.

2. La variance

Définition

Avec les mêmes notations, la variance de la série est le nombre réel positif, noté \(V\), défini par :

\[V = \dfrac{n_1 d_1^{2} + n_2 d_2^{2} + \cdots + n_p d_p^{2}}{N}\]

où \(d_i^{2} = (x_i - \bar{x})^{2}\).

3. L’écart-type

Définition

L’écart-type d’une série statistique est la racine carrée de sa variance. On le note \(\sigma\) (sigma) :

\[\sigma = \sqrt{V}\]

Exemple

Pour le premier groupe, la somme des produits \(n_i d_i^{2}\) est \(4 + 2 + 0 + 2 + 4 = 12\). Donc :

\[V_1 = \dfrac{12}{10} = 1{,}2\] \[\sigma_1 = \sqrt{1{,}2} \approx 1{,}1\]

Pour le deuxième groupe, on trouve \(V_2 = \dfrac{228}{10} = 22{,}8\) et \(\sigma_2 = \sqrt{22{,}8} \approx 4{,}8\). Plus l’écart-type est grand, plus la série est dispersée autour de sa moyenne.

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Application 1

Le tableau suivant donne le nombre de buts marqués par une équipe de football au cours de \(25\) matchs :

Buts \(x_i\)	0	1	2	3	4	5
Effectif \(n_i\)	3	6	8	5	2	1
Effectif cumulé	…	…	…	…	…	…

1) Recopier et compléter le tableau.

2) Déterminer le nombre et le pourcentage de matchs au cours desquels l’équipe a marqué au moins \(3\) buts.

3) Calculer les paramètres de position : mode, moyenne arithmétique et médiane.

4) Calculer les paramètres de dispersion : écart moyen, variance et écart-type.

5) Représenter le diagramme en bâtons et le polygone statistique.

Application 2

On a demandé à \(20\) élèves du Tronc Commun Lettres la durée, en minutes, de leur trajet entre la maison et le lycée :

12 – 25 – 8 – 34 – 17 – 22 – 5 – 28 – 15 – 31 – 19 – 24 – 9 – 38 – 14 – 27 – 21 – 16 – 33 – 26

1) Regrouper ces durées en classes en complétant le tableau suivant :

Classe	\([0\,;10[\)	\([10\,;20[\)	\([20\,;30[\)	\([30\,;40[\)
Effectif \(n_i\)	…	…	…	…
Effectif cumulé	…	…	…	…

2) Déterminer la classe modale.

3) Calculer la moyenne arithmétique de cette série.

4) Calculer les paramètres de dispersion : écart moyen, variance et écart-type.

5) Représenter l’histogramme des effectifs et le polygone statistique.