Calcul numérique

I. Opérations dans \(\mathbb{R}\)

1. Développement et réduction

Activité 1

Soient \(x\) et \(y\) deux nombres réels. Développer puis réduire les expressions suivantes :

• \(A = 4(x + 5)\)

• \(B = -2(x^{2} - 3x + 4)\)

• \(C = (3x - 2)(2x + 5)\)

• \(D = (3 - x)(5 + 2x)\)

• \(E = (5x + 3y - 2) - (3x - y + 6)\)

Propriétés

Soient \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) et \(k\) des nombres réels.

• \(k(a + b) = ka + kb\)

• \(k(a - b) = ka - kb\)

• \((a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd\)

• \(a - (b + c) = a - b - c\)

• \(a - (b - c) = a - b + c\)

Remarque

Développer, c’est transformer un produit en une somme. Factoriser, c’est transformer une somme en un produit : \(ka + kb = k(a + b)\).

Exemple

\[\begin{aligned} 3(2x - 1) - (x - 4) &= 6x - 3 - x + 4 \\ &= 5x + 1 \end{aligned}\]

2. Opérations sur les fractions

Activité 2

Calculer, puis donner le résultat sous la forme d’une fraction irréductible :

\(\dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{4}\) ; \(\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{4}\) ; \(\dfrac{4}{7} \times \dfrac{3}{5}\) ; \(\dfrac{\ \dfrac{2}{5}\ }{\dfrac{3}{4}}\)

Propriétés

Soient \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) et \(k\) des nombres réels tels que \(b \neq 0\), \(d \neq 0\) et \(k \neq 0\).

• \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{k \times a}{k \times b}\)

• \(\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{b} = \dfrac{a + c}{b}\)

• \(\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{ad + bc}{bd}\)

• \(\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times c}{b \times d}\)

• Si \(c \neq 0\), alors \(\dfrac{\ \dfrac{a}{b}\ }{\dfrac{c}{d}} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c}\).

Remarque

Pour additionner deux fractions, on commence par les réduire au même dénominateur. Diviser par une fraction non nulle, c’est multiplier par son inverse.

Application 1

Calculer et simplifier :

\[A = \dfrac{5}{6} + \dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{3}\] \[B = \left(\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{2}\right) \times \dfrac{9}{4}\] \[C = \dfrac{1 + \dfrac{1}{3}}{1 - \dfrac{1}{3}}\]

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II. Identités remarquables

1. Carré d’une somme, carré d’une différence, différence de deux carrés

Activité 3

Développer puis réduire :

\((3x + 2)^{2}\) ; \((\sqrt{5} - \sqrt{2})^{2}\) ; \((\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)\)

Propriété

Soient \(a\) et \(b\) deux nombres réels.

• \((a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}\)

• \((a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}\)

• \((a - b)(a + b) = a^{2} - b^{2}\)

Exemples

• \((x + 3)^{2} = x^{2} + 6x + 9\)

• \(99^{2} = (100 - 1)^{2} = 10\,000 - 200 + 1 = 9\,801\)

• \((\sqrt{7} - 2)(\sqrt{7} + 2) = (\sqrt{7})^{2} - 2^{2} = 7 - 4 = 3\)

Application 2

Soit \(x\) un nombre réel. Développer puis réduire les expressions suivantes :

• \(A = (2x + 3)^{2}\)

• \(B = (5 - x)^{2}\)

• \(C = (3x - 4)(3x + 4)\)

• \(D = 3(x - 2)^{2} - 2(x + 3)(x - 3)\)

2. Somme et différence de deux cubes

Activité 4

Soient \(a\) et \(b\) deux nombres réels. Développer puis réduire les deux produits suivants :

\((a - b)(a^{2} + ab + b^{2})\) ; \((a + b)(a^{2} - ab + b^{2})\)

Propriété

Soient \(a\) et \(b\) deux nombres réels.

• \(a^{3} - b^{3} = (a - b)(a^{2} + ab + b^{2})\)

• \(a^{3} + b^{3} = (a + b)(a^{2} - ab + b^{2})\)

Exemple

\[\begin{aligned} x^{3} - 8 &= x^{3} - 2^{3} \\ &= (x - 2)(x^{2} + 2x + 4) \end{aligned}\]

Application 3

Soit \(x\) un nombre réel. Factoriser les expressions suivantes :

• \(A = (x + 5)^{2} + (x + 5)(x - 2)\)

• \(B = x^{2} - 16 + (x - 4)(3x + 1)\)

• \(C = x^{3} - 27\)

• \(D = x^{3} - 27 + 5(x - 3)\)

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III. Puissances et écriture scientifique

1. Puissances d’un nombre réel

Activité 5

Simplifier les nombres suivants :

\[A = 2^{-4} \times 5^{-2} \times 2^{7} \times 5^{-1}\] \[B = \dfrac{9 \times (10^{-3})^{2} \times 10^{4}}{10^{-4} \times 3}\]

Définition

Soient \(a\) un nombre réel non nul et \(n\) un entier naturel non nul.

• \(a^{n} = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ facteurs}}\)

• \(a^{0} = 1\) et \(a^{1} = a\)

• \(a^{-n} = \dfrac{1}{a^{n}}\)

Propriétés

Soient \(a\) et \(b\) deux nombres réels non nuls, et \(m\) et \(n\) deux entiers relatifs.

• \(a^{m} \times a^{n} = a^{m + n}\)

• \(\dfrac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}\)

• \((a^{m})^{n} = a^{m \times n}\)

• \((a \times b)^{n} = a^{n} \times b^{n}\)

• \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^{n} = \dfrac{a^{n}}{b^{n}}\)

Exemples

• \(2^{3} \times 2^{4} = 2^{7} = 128\)

• \(\dfrac{7^{5}}{7^{3}} = 7^{2} = 49\)

• \((3^{2})^{3} = 3^{6} = 729\)

• \(5^{-2} = \dfrac{1}{5^{2}} = \dfrac{1}{25}\)

Application 4

Soient \(x\) et \(y\) deux nombres réels non nuls. Simplifier :

\(x^{5} \times x^{3}\) ; \((x^{3}y^{2})^{2}\) ; \(\dfrac{x^{3} \times (x^{2}y)^{3}}{x^{5}y^{2}}\)

2. Puissances de 10

Propriété

Soit \(n\) un entier naturel non nul.

• \(10^{n} = 1\underbrace{0 \ldots 0}_{n \text{ zéros}}\)

• \(10^{-n} = \dfrac{1}{10^{n}} = \underbrace{0{,}0 \ldots 0}_{n \text{ zéros}}1\)

Exemples

\(10^{4} = 10\,000\) ; \(10^{6} = 1\,000\,000\) ; \(10^{-1} = 0{,}1\) ; \(10^{-3} = 0{,}001\).

3. Écriture scientifique d’un nombre décimal

Activité 6

Recopier et compléter les égalités suivantes :

• \(3\,200 = 3{,}2 \times 10^{\ldots}\)

• \(0{,}0047 = 4{,}7 \times 10^{\ldots}\)

• \(58{,}6 = \ldots \times 10^{1}\)

Définition

Tout nombre décimal strictement positif \(x\) s’écrit d’une seule façon sous la forme :

\[x = a \times 10^{n}\]

où \(a\) est un nombre décimal tel que \(1 \leq a < 10\) et \(n\) est un entier relatif.

Cette écriture s’appelle l’écriture scientifique de \(x\).

Si \(x\) est strictement négatif, son écriture scientifique est \(x = -a \times 10^{n}\), avec \(1 \leq a < 10\).

Exemples

• \(45\,000 = 4{,}5 \times 10^{4}\)

• \(0{,}00072 = 7{,}2 \times 10^{-4}\)

• \(-380 = -3{,}8 \times 10^{2}\)

Application 5

Donner l’écriture scientifique de chacun des nombres suivants :

\(734{,}2\) ; \(0{,}0086\) ; \(45{,}27 \times 10^{4}\) ; \(320 \times 10^{-5}\) ; \(-6\,159{,}4\) ; \(-913{,}52 \times 10^{-6}\) ; \(2\,648{,}07 \times 10^{5}\)

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IV. Racines carrées

Définition

Soit \(a\) un nombre réel positif. La racine carrée de \(a\) est le nombre réel positif dont le carré est égal à \(a\). On la note \(\sqrt{a}\).

Exemples

\(\sqrt{25} = 5\) car \(5^{2} = 25\) ; \(\sqrt{0} = 0\) ; \(\sqrt{1{,}44} = 1{,}2\) car \(1{,}2^{2} = 1{,}44\).

Propriétés

Soient \(a\) et \(b\) deux nombres réels positifs.

• \((\sqrt{a})^{2} = a\) et \(\sqrt{a^{2}} = a\)

• \(\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}\)

• Si \(b \neq 0\), alors \(\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\).

Remarque

En général, \(\sqrt{a + b}\) n’est pas égal à \(\sqrt{a} + \sqrt{b}\). Par exemple, \(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\), alors que \(\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7\).

Application 6

Calculer et simplifier :

\(\sqrt{20} \times \sqrt{5}\) ; \(\sqrt{2} \times \sqrt{32}\) ; \(\sqrt{7} \times \sqrt{7}\) ; \(\sqrt{(0{,}3)^{2}}\) ; \(\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}\) ; \(\sqrt{\dfrac{49}{6}} \times \sqrt{\dfrac{24}{25}}\)

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V. Ensembles de nombres

Activité 7

On note \(\mathbb{N}\) l’ensemble des entiers naturels, \(\mathbb{Z}\) l’ensemble des entiers relatifs, \(\mathbb{D}\) l’ensemble des nombres décimaux, \(\mathbb{Q}\) l’ensemble des nombres rationnels et \(\mathbb{R}\) l’ensemble des nombres réels.

Recopier le tableau suivant, puis mettre une croix dans chaque case qui convient (un nombre peut appartenir à plusieurs ensembles).

Nombre	\(\mathbb{N}\)	\(\mathbb{Z}\)	\(\mathbb{D}\)	\(\mathbb{Q}\)	\(\mathbb{R}\)
\(-5\)	…	…	…	…	…
\(\dfrac{7}{4}\)	…	…	…	…	…
\(3{,}62\)	…	…	…	…	…
\(\pi\)	…	…	…	…	…
\(12\)	…	…	…	…	…
\(\sqrt{3}\)	…	…	…	…	…
\(-\dfrac{9}{3}\)	…	…	…	…	…

Définitions

• L’ensemble des entiers naturels est noté \(\mathbb{N}\) :

\[\mathbb{N} = \{0\,;1\,;2\,;3\,;4\,;\ldots\}\]

• L’ensemble des entiers relatifs est noté \(\mathbb{Z}\) :

\[\mathbb{Z} = \{\ldots\,;-2\,;-1\,;0\,;1\,;2\,;\ldots\}\]

• L’ensemble des nombres décimaux est noté \(\mathbb{D}\). Un nombre décimal est un nombre qui peut s’écrire sous la forme \(\dfrac{a}{10^{n}}\), où \(a\) est un entier relatif et \(n\) un entier naturel.

• L’ensemble des nombres rationnels est noté \(\mathbb{Q}\). Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire sous la forme \(\dfrac{a}{b}\), où \(a\) est un entier relatif et \(b\) un entier relatif non nul.

• Les nombres qui ne sont pas rationnels, comme \(\sqrt{2}\) et \(\pi\), sont appelés nombres irrationnels.

• L’ensemble des nombres réels, noté \(\mathbb{R}\), est formé des nombres rationnels et des nombres irrationnels.

Remarques

• Un nombre décimal s’écrit avec un nombre fini de chiffres après la virgule. Par exemple, \(1{,}25 = \dfrac{125}{10^{2}}\) est un nombre décimal, alors que \(\dfrac{1}{3} = 0{,}333\ldots\) n’en est pas un.

• L’ensemble des entiers naturels non nuls est noté \(\mathbb{N}^{*}\), et l’ensemble des nombres réels non nuls est noté \(\mathbb{R}^{*}\).

• Tout entier naturel est un entier relatif, tout entier relatif est un nombre décimal, tout nombre décimal est un nombre rationnel et tout nombre rationnel est un nombre réel. On écrit :

\[\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\]

Application 7

Compléter par l’un des symboles \(\in\) ou \(\notin\) :

\(15 \,\ldots\, \mathbb{N}\) ; \(-4 \,\ldots\, \mathbb{N}\) ; \(\dfrac{3}{5} \,\ldots\, \mathbb{R}\) ; \(-21 \,\ldots\, \mathbb{Z}\) ; \(2{,}75 \,\ldots\, \mathbb{D}\)

\(4{,}5 \,\ldots\, \mathbb{Z}\) ; \(\dfrac{\sqrt{3}}{2} \,\ldots\, \mathbb{Q}\) ; \(0 \,\ldots\, \mathbb{R}^{*}\) ; \(\sqrt{64} \,\ldots\, \mathbb{N}\) ; \(\dfrac{2}{3} \,\ldots\, \mathbb{D}\)

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VI. Proportionnalité

1. Grandeurs proportionnelles

Activité 8

Dans une librairie, \(4\) cahiers identiques coûtent \(26\) DH.

1) Quel est le prix d’un seul cahier ?

2) Recopier et compléter le tableau suivant :

Nombre de cahiers	\(4\)	\(7\)	\(10\)
Prix (en DH)	\(26\)	…	…

3) Par quel nombre faut-il multiplier le nombre de cahiers pour obtenir le prix ?

Définition

Deux grandeurs sont proportionnelles si les valeurs de l’une s’obtiennent en multipliant les valeurs de l’autre par un même nombre non nul \(k\).

Le nombre \(k\) s’appelle le coefficient de proportionnalité.

Exemple

Sur une carte à l’échelle \(\dfrac{1}{25\,000}\), les distances sur la carte sont proportionnelles aux distances réelles : \(1\) cm sur la carte représente \(25\,000\) cm dans la réalité.

Deux villages sont distants de \(12\) cm sur cette carte. Leur distance réelle est :

\[12 \times 25\,000 = 300\,000 \text{ cm} = 3 \text{ km}\]

Propriétés

Soient \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) des nombres réels non nuls.

• \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\) équivaut à \(a \times d = b \times c\).

• Si \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\), alors \(\dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d}\) et \(\dfrac{b}{a} = \dfrac{d}{c}\).

• Si \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\) et \(b + d \neq 0\), alors :

\[\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{a + c}{b + d}\]

• Plus généralement, si \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\), alors pour tous nombres réels \(m\) et \(n\) tels que \(mb + nd \neq 0\) :

\[\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{ma + nc}{mb + nd}\]

Exemple

On a \(\dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{12}\), car \(3 \times 12 = 4 \times 9 = 36\). On vérifie que :

\[\dfrac{3 + 9}{4 + 12} = \dfrac{12}{16} = \dfrac{3}{4}\]

Application 8

Une fontaine a un débit régulier de \(4{,}5\) litres par heure.

1) Quel volume d’eau fournit-elle en \(40\) minutes ?

2) Combien de temps faut-il pour remplir une bouteille de \(1{,}5\) litre ?

2. Pourcentages

Propriétés

Soit \(p\) un nombre réel positif.

• Prendre \(p\,\%\) d’une quantité, c’est la multiplier par \(\dfrac{p}{100}\).

• Augmenter une quantité de \(p\,\%\), c’est la multiplier par \(1 + \dfrac{p}{100}\).

• Diminuer une quantité de \(p\,\%\), c’est la multiplier par \(1 - \dfrac{p}{100}\).

Exemples

• \(30\,\%\) de \(250\) DH représentent \(250 \times \dfrac{30}{100} = 75\) DH.

• Un prix de \(200\) DH qui augmente de \(10\,\%\) devient \(200 \times 1{,}10 = 220\) DH.

Application 9

1) Dans une classe de \(32\) élèves, il y a \(20\) filles. Quel est le pourcentage des filles dans cette classe ?

2) Un éleveur a vendu \(35\,\%\) de ses moutons, soit \(63\) moutons. Combien de moutons avait-il avant la vente ?

3) Le prix d’un article est \(280\) DH. Il augmente de \(15\,\%\). Quel est son nouveau prix ?

4) Un téléviseur coûte \(4\,500\) DH. Le vendeur accorde une réduction de \(12\,\%\). Quel est le prix à payer ?