L’ordre dans ℝ

I. Ordre et opérations

1. Comparaison de deux nombres réels

Activité 1

Recopier et compléter par l’un des symboles \(<\) ou \(>\) :

\(7{,}25 \,\ldots\, 7{,}196\) ; \(-7{,}25 \,\ldots\, -7{,}196\) ; \(\dfrac{5}{7} \,\ldots\, \dfrac{6}{7}\)

\(\dfrac{2}{3} \,\ldots\, \dfrac{2}{5}\) ; \(4 + \dfrac{1}{6} \,\ldots\, 9 + \dfrac{1}{6}\) ; \(\dfrac{9}{11} \,\ldots\, \dfrac{13}{8}\)

Définition

Soient \(a\) et \(b\) deux nombres réels.

• \(a\) est inférieur ou égal à \(b\), et on écrit \(a \leq b\), si \(a - b \leq 0\).

• \(a\) est supérieur ou égal à \(b\), et on écrit \(a \geq b\), si \(a - b \geq 0\).

• \(a\) est strictement inférieur à \(b\), et on écrit \(a < b\), si \(a - b < 0\).

• \(a\) est strictement supérieur à \(b\), et on écrit \(a > b\), si \(a - b > 0\).

Méthode

Pour comparer deux nombres réels \(a\) et \(b\), on calcule leur différence \(a - b\), puis on étudie son signe.

Exemple

Comparons \(\dfrac{3}{4}\) et \(\dfrac{2}{3}\). On a :

La différence est strictement positive, donc \(\dfrac{3}{4} > \dfrac{2}{3}\).

Application 1

1) Comparer les nombres \(\dfrac{7}{9}\) et \(\dfrac{5}{6}\), puis les nombres \(\dfrac{3}{8}\) et \(\dfrac{5}{14}\).

2) Soit \(x\) un nombre réel négatif. Comparer \((x + 4)^{2}\) et \(x^{2} + 16\).

2. Ordre et opérations

Activité 2

Soient \(x\) et \(y\) deux nombres réels tels que \(x \leq 3\) et \(y \leq 7\). Recopier et compléter par \(\leq\) ou \(\geq\) :

\(x + 4 \,\ldots\, 7\) ; \(x - 5 \,\ldots\, -2\) ; \(2x \,\ldots\, 6\)

\(-3x \,\ldots\, -9\) ; \(x + y \,\ldots\, 10\)

Propriétés

Soient \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) et \(k\) des nombres réels.

Ordre et addition

• Si \(a \leq b\), alors \(a + c \leq b + c\) et \(a - c \leq b - c\).

• Si \(a \leq b\) et \(c \leq d\), alors \(a + c \leq b + d\).

Ordre et multiplication

• Si \(a \leq b\) et \(k > 0\), alors \(ka \leq kb\).

• Si \(a \leq b\) et \(k < 0\), alors \(ka \geq kb\) : le sens de l’inégalité change.

• Si \(0 \leq a \leq b\) et \(0 \leq c \leq d\), alors \(ac \leq bd\).

Ordre, carré et racine carrée

• Si \(0 \leq a \leq b\), alors \(a^{2} \leq b^{2}\) et \(\sqrt{a} \leq \sqrt{b}\).

• Si \(a \leq b \leq 0\), alors \(a^{2} \geq b^{2}\).

Ordre et inverse

• Si \(a\) et \(b\) sont non nuls et de même signe, et si \(a \leq b\), alors \(\dfrac{1}{a} \geq \dfrac{1}{b}\).

Exemples

• On a \(2 \leq 5\), donc \(2 + 3 \leq 5 + 3\), c’est-à-dire \(5 \leq 8\).

• On a \(2 \leq 5\) et \(-4 < 0\), donc \(-4 \times 2 \geq -4 \times 5\), c’est-à-dire \(-8 \geq -20\).

• On a \(0 \leq 3 \leq 4\), donc \(3^{2} \leq 4^{2}\) et \(\sqrt{3} \leq \sqrt{4}\), c’est-à-dire \(9 \leq 16\) et \(\sqrt{3} \leq 2\).

• On a \(-5 \leq -2 \leq 0\), donc \((-5)^{2} \geq (-2)^{2}\), c’est-à-dire \(25 \geq 4\).

• On a \(2 \leq 5\), donc \(\dfrac{1}{2} \geq \dfrac{1}{5}\).

3. Encadrement

Activité 3

Soient \(x\) et \(y\) deux nombres réels tels que \(2 \leq x \leq 6\) et \(1 \leq y \leq 4\).

1) Entre quels nombres se trouve \(x + y\) ?

2) Entre quels nombres se trouve \(-y\) ? En déduire entre quels nombres se trouve \(x - y\).

3) Entre quels nombres se trouve \(xy\) ?

4) Entre quels nombres se trouve \(\dfrac{1}{y}\) ? En déduire entre quels nombres se trouve \(\dfrac{x}{y}\).

Définition

Soient \(a\) et \(b\) deux nombres réels tels que \(a < b\), et \(x\) un nombre réel.

Chacune des doubles inégalités \(a \leq x \leq b\), \(a < x \leq b\), \(a \leq x < b\) et \(a < x < b\) s’appelle un encadrement de \(x\).

Le nombre positif \(b - a\) s’appelle l’amplitude de cet encadrement.

Exemples

• \(1 < \sqrt{2} < 2\) est un encadrement de \(\sqrt{2}\) d’amplitude \(2 - 1 = 1\).

• \(1{,}41 < \sqrt{2} < 1{,}42\) est un encadrement de \(\sqrt{2}\) d’amplitude \(1{,}42 - 1{,}41 = 0{,}01\).

Propriétés

Soient \(x\) et \(y\) deux nombres réels tels que \(a \leq x \leq b\) et \(c \leq y \leq d\).

• \(a + c \leq x + y \leq b + d\)

• \(-d \leq -y \leq -c\), donc \(a - d \leq x - y \leq b - c\).

Si de plus \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) sont strictement positifs :

• \(ac \leq xy \leq bd\)

• \(\dfrac{1}{d} \leq \dfrac{1}{y} \leq \dfrac{1}{c}\), donc \(\dfrac{a}{d} \leq \dfrac{x}{y} \leq \dfrac{b}{c}\).

Remarque

On ne soustrait jamais et on ne divise jamais deux encadrements membre à membre : pour encadrer \(x - y\), on encadre d’abord \(-y\) ; pour encadrer \(\dfrac{x}{y}\), on encadre d’abord \(\dfrac{1}{y}\).

Application 2

Soient \(x\) et \(y\) deux nombres réels tels que \(1 \leq x \leq 4\) et \(2 \leq y \leq 5\). Donner un encadrement de chacun des nombres suivants :

\(x + y\) ; \(x - y\) ; \(xy\) ; \(\dfrac{x}{y}\) ; \(x^{2}\) ; \(\sqrt{x}\)

II. Intervalles de \(\mathbb{R}\)

1. Notion d’intervalle

Activité 4

1) Tracer une droite graduée, puis placer les points \(A(3)\), \(B(-2)\) et \(C\left(-\dfrac{3}{2}\right)\).

2) Colorier, sur cette droite, l’ensemble des points dont l’abscisse \(x\) vérifie \(1 \leq x \leq 4\).

3) Refaire la même chose, sur une nouvelle droite à chaque fois, pour : \(-1 \leq x < 3\) ; \(x \geq 1\) ; \(x < 4\).

Dans ce qui suit, \(a\) et \(b\) sont deux nombres réels tels que \(a < b\).

Définition : intervalles bornés

• \([a\,;b]\) est l’ensemble des réels \(x\) tels que \(a \leq x \leq b\) : intervalle fermé.

• \(]a\,;b[\) est l’ensemble des réels \(x\) tels que \(a < x < b\) : intervalle ouvert.

• \([a\,;b[\) est l’ensemble des réels \(x\) tels que \(a \leq x < b\).

• \(]a\,;b]\) est l’ensemble des réels \(x\) tels que \(a < x \leq b\).

Les nombres \(a\) et \(b\) sont les bornes de l’intervalle.

Définition : intervalles non bornés

• \([a\,;+\infty[\) est l’ensemble des réels \(x\) tels que \(x \geq a\).

• \(]a\,;+\infty[\) est l’ensemble des réels \(x\) tels que \(x > a\).

• \(]-\infty\,;b]\) est l’ensemble des réels \(x\) tels que \(x \leq b\).

• \(]-\infty\,;b[\) est l’ensemble des réels \(x\) tels que \(x < b\).

Remarques

• Les symboles \(+\infty\) (« plus l’infini ») et \(-\infty\) (« moins l’infini ») ne sont pas des nombres réels : le crochet est toujours ouvert de leur côté.

• Un crochet tourné vers l’intérieur signifie que la borne appartient à l’intervalle ; un crochet tourné vers l’extérieur signifie qu’elle ne lui appartient pas.

• On a \(\mathbb{R} = \,]-\infty\,;+\infty[\).

Exemples

• \(2 \in [-1\,;4]\), \(4 \in [-1\,;4]\) et \(5 \notin [-1\,;4]\).

• \(3 \notin \,]-\infty\,;3[\) et \(-10 \in \,]-\infty\,;3[\).

Application 3

Dans chacun des cas suivants, écrire sous forme d’intervalle l’ensemble des nombres réels \(a\) qui vérifient la condition donnée :

\(-2 \leq a \leq 7\) ; \(0 < a < 3\) ; \(2 < a \leq 5\) ; \(-6 \leq a < 1\)

\(a \leq \sqrt{3}\) ; \(a \geq -4\) ; \(a < \dfrac{2}{5}\) ; \(a > -1\)

2. Intersection et réunion de deux intervalles

Activité 5

On considère les intervalles \(I = [-3\,;2]\) et \(J = \,]0\,;4[\).

1) Représenter \(I\) et \(J\) sur une même droite graduée, avec deux couleurs différentes.

2) Quels sont les nombres réels qui appartiennent à la fois à \(I\) et à \(J\) ?

3) Quels sont les nombres réels qui appartiennent à \(I\) ou à \(J\) ?

Définition

Soient \(I\) et \(J\) deux intervalles de \(\mathbb{R}\).

• L’intersection de \(I\) et \(J\), notée \(I \cap J\), est l’ensemble des réels qui appartiennent à \(I\) et à \(J\).

• La réunion de \(I\) et \(J\), notée \(I \cup J\), est l’ensemble des réels qui appartiennent à \(I\) ou à \(J\) (c’est-à-dire à l’un au moins des deux).

Exemple

Soient \(I = [-1\,;4]\) et \(J = [2\,;6]\).

• Les réels communs à \(I\) et à \(J\) sont ceux compris entre \(2\) et \(4\) : \(I \cap J = [2\,;4]\).

• Les réels qui sont dans \(I\) ou dans \(J\) sont ceux compris entre \(-1\) et \(6\) : \(I \cup J = [-1\,;6]\).

Remarque

Lorsque deux intervalles n’ont aucun élément commun, leur intersection est l’ensemble vide, noté \(\varnothing\). Par exemple, \([0\,;1] \cap [3\,;5] = \varnothing\).

Application 4

On considère les intervalles \(I = [-4\,;1]\), \(J = \,]-1\,;5[\) et \(K = [3\,;+\infty[\). Déterminer :

\(I \cap J\) ; \(I \cup J\) ; \(J \cap K\) ; \(J \cup K\) ; \(I \cap K\)

III. Valeur absolue

1. Valeur absolue d’un nombre réel

Activité 6

Sur une droite graduée d’origine \(O\), on considère les points \(A(3)\) et \(A'(-3)\).

1) Placer les points \(A\) et \(A'\).

2) Calculer les distances \(OA\) et \(OA'\). Que remarque-t-on ?

Définition

Soit \(x\) un nombre réel et \(M\) le point d’abscisse \(x\) sur une droite graduée d’origine \(O\).

La valeur absolue de \(x\), notée \(|x|\), est la distance \(OM\).

• Si \(x \geq 0\), alors \(|x| = x\).

• Si \(x \leq 0\), alors \(|x| = -x\).

Exemples

\(|-6| = 6\) ; \(|4| = 4\) ; \(\left|-\dfrac{2}{5}\right| = \dfrac{2}{5}\) ; \(|0| = 0\)

On a \(1 < \sqrt{2}\), donc \(1 - \sqrt{2}\) est négatif et \(|1 - \sqrt{2}| = -(1 - \sqrt{2}) = \sqrt{2} - 1\).

Propriétés

Soient \(x\) et \(y\) deux nombres réels.

• \(|x| \geq 0\)

• \(|-x| = |x|\)

• \(|x|^{2} = x^{2}\) et \(\sqrt{x^{2}} = |x|\)

• \(|x \times y| = |x| \times |y|\)

• Si \(y \neq 0\), alors \(\left|\dfrac{x}{y}\right| = \dfrac{|x|}{|y|}\).

• \(|x + y| \leq |x| + |y|\)

2. Équations avec valeur absolue

Propriétés

Soient \(x\) et \(y\) deux nombres réels et \(r\) un nombre réel positif.

• \(|x| = r\) équivaut à \(x = r\) ou \(x = -r\).

• \(|x| = |y|\) équivaut à \(x = y\) ou \(x = -y\).

Exemple

L’équation \(|x| = 2\) équivaut à \(x = 2\) ou \(x = -2\). Son ensemble de solutions est \(S = \{-2\,;2\}\).

Remarque

Une valeur absolue n’est jamais strictement négative : une équation comme \(|x| = -3\) n’a pas de solution.

Application 5

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes :

\(|x| = 5\) ; \(|x - 2| = 3\) ; \(|3x - 1| = |x + 5|\)

3. Inéquations avec valeur absolue

Propriétés

Soient \(x\) un nombre réel et \(r\) un nombre réel strictement positif.

• \(|x| \leq r\) équivaut à \(-r \leq x \leq r\), c’est-à-dire \(x \in [-r\,;r]\).

• \(|x| \geq r\) équivaut à \(x \leq -r\) ou \(x \geq r\), c’est-à-dire :

\[x \in \,]-\infty\,;-r] \cup [r\,;+\infty[\]

Les réels \(x\) tels que \(|x| \leq r\) :

Les réels \(x\) tels que \(|x| \geq r\) :

Exemples

• \(|x| \leq 2\) équivaut à \(-2 \leq x \leq 2\) : \(S = [-2\,;2]\).

• \(|x| \geq 4\) équivaut à \(x \leq -4\) ou \(x \geq 4\) : \(S = \,]-\infty\,;-4] \cup [4\,;+\infty[\).

Application 6

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les inéquations suivantes :

\(|x| \leq 3\) ; \(|x| \geq 6\) ; \(|x - 1| \leq 4\)