Équations, inéquations et systèmes

I. Équations et inéquations du premier degré à une inconnue

1. Équations du premier degré

Activité 1

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes :

\(5x + 9 = 2x - 3\) ; \((x - 2)(x + 5) = 0\)

Définition

Une équation du premier degré à une inconnue est une équation qui peut s’écrire sous la forme \(ax + b = 0\), où \(a\) et \(b\) sont deux nombres réels avec \(a \neq 0\).

Elle admet une seule solution : \(x = -\dfrac{b}{a}\). On note son ensemble de solutions \(S = \left\{-\dfrac{b}{a}\right\}\).

Propriété

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul :

\[\begin{aligned} &A \times B = 0 \\ &\iff A = 0 \ \text{ ou } \ B = 0 \end{aligned}\]

Exemples

• \(3x - 12 = 0 \iff 3x = 12 \iff x = 4\). Donc \(S = \{4\}\).

• \((x - 1)(x + 6) = 0 \iff x - 1 = 0\) ou \(x + 6 = 0\), c’est-à-dire \(x = 1\) ou \(x = -6\). Donc \(S = \{-6\,;1\}\).

Application 1

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes :

• \(7x - 5 = 3x + 11\)

• \(2(x - 3) = 5x + 9\)

• \((2x - 6)(x + 4) = 0\)

2. Inéquations du premier degré

Activité 2

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les inéquations suivantes, puis écrire l’ensemble des solutions sous forme d’intervalle :

\(3x + 2 \leq x + 6\) ; \(5x - 1 > 2x - 7\) ; \(-2x - 6 \geq 0\)

Règles

• On ne change pas le sens d’une inégalité lorsqu’on ajoute ou qu’on retranche un même nombre à ses deux membres.

• On ne change pas le sens d’une inégalité lorsqu’on multiplie ou qu’on divise ses deux membres par un même nombre strictement positif.

• On change le sens d’une inégalité lorsqu’on multiplie ou qu’on divise ses deux membres par un même nombre strictement négatif.

Exemple

Résolvons l’inéquation \(-3x + 6 < 0\) :

\[\begin{aligned} -3x + 6 < 0 &\iff -3x < -6 \\ &\iff x > 2 \end{aligned}\]

On a divisé par \(-3\), qui est négatif : le sens de l’inégalité a changé. Donc \(S = \,]2\,;+\infty[\).

Application 2

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les inéquations suivantes :

• \(4x - 3 \leq x + 9\)

• \(2x + 5 > 6x - 7\)

• \(3 - x < 2x - 9\)

3. Signe du binôme \(ax + b\)

Activité 3

On considère l’expression \(2x - 6\).

1) Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(2x - 6 = 0\).

2) Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les inéquations \(2x - 6 > 0\) et \(2x - 6 < 0\).

3) Résumer les résultats dans un tableau qui donne le signe de \(2x - 6\) suivant les valeurs de \(x\).

Propriété

Soient \(a\) et \(b\) deux nombres réels avec \(a \neq 0\). Le binôme \(ax + b\) s’annule pour \(x = -\dfrac{b}{a}\). Il a le signe de \(a\) à droite de cette valeur et le signe contraire à gauche.

Exemples

• \(3x + 6\) s’annule pour \(x = -2\) et \(a = 3\) est positif.

• \(-2x + 8\) s’annule pour \(x = 4\) et \(a = -2\) est négatif.

Application 3

1) Dresser le tableau de signe de \(3x - 9\) et celui de \(-2x + 4\).

2) En déduire le tableau de signe du produit \(P(x) = (3x - 9)(-2x + 4)\).

3) Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’inéquation \((3x - 9)(-2x + 4) > 0\).

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II. Équations et inéquations du second degré à une inconnue

1. Équations du second degré

Définition

Une équation du second degré à une inconnue est une équation de la forme \(ax^{2} + bx + c = 0\), où \(a\), \(b\) et \(c\) sont des nombres réels avec \(a \neq 0\).

Le nombre \(\Delta = b^{2} - 4ac\) s’appelle le discriminant de cette équation (ou du trinôme \(ax^{2} + bx + c\)).

Exemple

Pour l’équation \(2x^{2} - 5x + 3 = 0\), on a \(a = 2\), \(b = -5\) et \(c = 3\). Donc :

\[\begin{aligned} \Delta &= (-5)^{2} - 4 \times 2 \times 3 \\ &= 25 - 24 = 1 \end{aligned}\]

Propriété

On considère l’équation \(ax^{2} + bx + c = 0\) (avec \(a \neq 0\)) et son discriminant \(\Delta\).

• Si \(\Delta < 0\), l’équation n’a pas de solution dans \(\mathbb{R}\) : \(S = \varnothing\).

• Si \(\Delta = 0\), l’équation a une seule solution :

\[x_0 = -\dfrac{b}{2a}\]

• Si \(\Delta > 0\), l’équation a deux solutions distinctes :

\[x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}\] \[x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\]

Application 4

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes :

• \(2x^{2} + x + 3 = 0\)

• \(9x^{2} - 6x + 1 = 0\)

• \(x^{2} - 7x + 10 = 0\)

2. Factorisation d’un trinôme

Propriété

Soit \(P(x) = ax^{2} + bx + c\) un trinôme du second degré (\(a \neq 0\)) et \(\Delta\) son discriminant.

• Si \(\Delta > 0\), alors \(P(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\), où \(x_1\) et \(x_2\) sont les solutions de l’équation \(P(x) = 0\).

• Si \(\Delta = 0\), alors \(P(x) = a(x - x_0)^{2}\), où \(x_0\) est la solution de l’équation \(P(x) = 0\).

• Si \(\Delta < 0\), le trinôme \(P(x)\) ne peut pas s’écrire comme un produit de deux facteurs du premier degré.

Exemple

Soit \(P(x) = 2x^{2} - 5x + 3\). On a vu que \(\Delta = 1\). Les solutions de \(P(x) = 0\) sont :

\[\begin{aligned} x_1 &= \dfrac{5 - 1}{4} = 1 \\[2mm] x_2 &= \dfrac{5 + 1}{4} = \dfrac{3}{2} \end{aligned}\]

Donc \(P(x) = 2(x - 1)\left(x - \dfrac{3}{2}\right)\).

Application 5

Factoriser, lorsque c’est possible, chacun des trinômes suivants :

• \(P(x) = 3x^{2} + 5x - 2\)

• \(Q(x) = 4x^{2} - 4x + 1\)

• \(R(x) = x^{2} + x + 1\)

3. Somme et produit des solutions

Propriété

Si l’équation \(ax^{2} + bx + c = 0\) (avec \(a \neq 0\)) admet deux solutions \(x_1\) et \(x_2\), alors :

\[x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} \quad \text{et} \quad x_1 \times x_2 = \dfrac{c}{a}\]

Exemple

Les solutions de l’équation \(x^{2} - 7x + 10 = 0\) sont \(2\) et \(5\). On vérifie que \(2 + 5 = 7 = -\dfrac{-7}{1}\) et que \(2 \times 5 = 10 = \dfrac{10}{1}\).

Application 6

On considère l’équation \((E) : 2x^{2} + 3x - 5 = 0\).

1) Vérifier que \(1\) est une solution de l’équation \((E)\).

2) Sans calculer le discriminant, déterminer l’autre solution de \((E)\).

4. Signe d’un trinôme et inéquations du second degré

Propriété

Soit \(P(x) = ax^{2} + bx + c\) un trinôme du second degré (\(a \neq 0\)) et \(\Delta\) son discriminant.

• Si \(\Delta < 0\), \(P(x)\) a le signe de \(a\) pour tout réel \(x\).

• Si \(\Delta = 0\), \(P(x)\) a le signe de \(a\) pour tout réel \(x\) différent de \(x_0\), et il s’annule en \(x_0\).

• Si \(\Delta > 0\), \(P(x)\) a le signe de \(a\) à l’extérieur des solutions \(x_1\) et \(x_2\), et le signe contraire entre les solutions.

Exemple

Soit \(P(x) = x^{2} - 4x + 3\). On a \(\Delta = 16 - 12 = 4\), donc les solutions de \(P(x) = 0\) sont \(x_1 = \dfrac{4 - 2}{2} = 1\) et \(x_2 = \dfrac{4 + 2}{2} = 3\). Comme \(a = 1\) est positif :

L’inéquation \(x^{2} - 4x + 3 \leq 0\) a donc pour ensemble de solutions \(S = [1\,;3]\).

Application 7

On considère les trinômes suivants :

• \(P(x) = x^{2} - 3x - 4\)

• \(Q(x) = -2x^{2} + 5x - 2\)

• \(R(x) = 3x^{2} - 2x + 1\)

1) Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations \(P(x) = 0\), \(Q(x) = 0\) et \(R(x) = 0\).

2) Factoriser, lorsque c’est possible, chacun de ces trinômes.

3) Dresser le tableau de signe de chacun de ces trinômes.

4) Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les inéquations \(P(x) > 0\), \(Q(x) \geq 0\) et \(R(x) < 0\).

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III. Systèmes de deux équations du premier degré à deux inconnues

Définition

Un système de deux équations du premier degré à deux inconnues \(x\) et \(y\) s’écrit sous la forme :

\[\begin{cases} ax + by = c \\ a'x + b'y = c' \end{cases}\]

où \(a\), \(b\), \(c\), \(a'\), \(b'\) et \(c'\) sont des nombres réels.

Résoudre ce système, c’est trouver tous les couples \((x\,;y)\) qui vérifient les deux équations à la fois.

Activité 4

On considère le système :

\[(S) : \begin{cases} x + 2y = 7 \\ 3x - y = 7 \end{cases}\]

1) a) À l’aide de la première équation, exprimer \(x\) en fonction de \(y\).

b) Remplacer \(x\) par cette expression dans la deuxième équation, puis calculer \(y\) et \(x\).

2) a) Multiplier les deux membres de la deuxième équation par \(2\).

b) Additionner membre à membre l’équation obtenue et la première équation, puis calculer \(x\) et \(y\).

3) Comparer les résultats obtenus par les deux méthodes.

Méthode par substitution

• On exprime l’une des inconnues en fonction de l’autre à l’aide d’une des deux équations.

• On remplace cette inconnue par son expression dans l’autre équation : on obtient une équation à une seule inconnue, que l’on résout.

• On calcule enfin la deuxième inconnue.

Méthode par combinaison linéaire

• On multiplie les équations par des nombres bien choisis pour que les coefficients d’une des inconnues soient opposés.

• On additionne membre à membre les deux équations : l’une des inconnues disparaît et on résout l’équation obtenue.

• On calcule enfin la deuxième inconnue.

Exemple

Résolvons par substitution le système \(\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x - 3y = 6 \end{cases}\)

La première équation donne \(y = 5 - 2x\). On remplace dans la deuxième :

\[\begin{aligned} &x - 3(5 - 2x) = 6 \\ &\iff x - 15 + 6x = 6 \\ &\iff 7x = 21 \\ &\iff x = 3 \end{aligned}\]

Puis \(y = 5 - 2 \times 3 = -1\). Le système a une seule solution : \(S = \{(3\,;-1)\}\).

Application 8

1) Résoudre par substitution le système :

\[(S_1) : \begin{cases} x - 3y = -2 \\ 2x - 5y = 1 \end{cases}\]

2) Résoudre par combinaison linéaire le système :

\[(S_2) : \begin{cases} 3x - 2y = 4 \\ x + y = 8 \end{cases}\]

Application 9

À la buvette d’un lycée, \(3\) sandwichs et \(2\) jus coûtent \(34\) DH, alors que \(2\) sandwichs et \(5\) jus coûtent \(41\) DH.

Déterminer le prix d’un sandwich et le prix d’un jus.