Série n° 1 – Notions de logique · 1ère Bac Sc. Exp. (BIOF) · Prof : Yassine NACHIT

Correction de l’exercice 1 · Quantificateurs

Rappel : quantificateurs et négation

• « Pour tout » (ou « quel que soit ») se note \(\forall\). La proposition \((\forall x\in E) : p(x)\) est vraie lorsque \(p(x)\) est vraie pour tout \(x\in E\).
• « Il existe au moins un » se note \(\exists\). La proposition \((\exists x\in E) : p(x)\) est vraie lorsqu’il existe au moins un \(x\in E\) tel que \(p(x)\) soit vraie.
• « Il existe un unique » se note \(\exists!\). La proposition \((\exists! x\in E) : p(x)\) est vraie lorsqu’il existe un seul \(x\in E\) tel que \(p(x)\) soit vraie.
• Négations : \(\overline{(\forall x\in E) : p(x)}\) est \((\exists x\in E) : \overline{p(x)}\) ; \(\overline{(\exists x\in E) : p(x)}\) est \((\forall x\in E) : \overline{p(x)}\).

Rappel : signe du trinôme \(ax^2+bx+c\) \((a\ne 0)\)

On pose \(\Delta=b^2-4ac\).

• Si \(\Delta>0\), le trinôme admet deux racines distinctes \(\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\) et \(\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\), que l’on note \(x_1<x_2\) :

\(x\)	\(-\infty\)		\(x_1\)		\(x_2\)		\(+\infty\)
\(f(x)\)		signe de \(a\)	\(0\)	signe de \(-a\)	\(0\)	signe de \(a\)

• Si \(\Delta=0\), le trinôme admet une racine double \(x_0=-\dfrac{b}{2a}\) :

\(x\)	\(-\infty\)		\(x_0\)		\(+\infty\)
\(f(x)\)		signe de \(a\)	\(0\)	signe de \(a\)

• Si \(\Delta<0\), le trinôme n’a pas de racine réelle et \(f(x)\) a le signe de \(a\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\).

1) \(P_1 :\ (\exists x\in\mathbb{R}) : 3x+6=0\).

On résout l’équation :

\[3x+6=0 \iff 3x=-6 \iff x=-2.\]

Le réel \(-2\) vérifie \(3\times(-2)+6=0\), donc \(P_1\) est vraie.
Négation : \(\overline{P_1} :\ (\forall x\in\mathbb{R}) : 3x+6\ne 0\).

2) \(P_2 :\ (\exists x\in\mathbb{R}) : x^2-3x+2=0\).

On a \(a=1\), \(b=-3\) et \(c=2\), donc

\[\Delta=(-3)^2-4\times1\times2=9-8=1>0.\]

L’équation admet donc deux solutions :

\[x_1=\frac{3-\sqrt{1}}{2}=1 \qquad\text{et}\qquad x_2=\frac{3+\sqrt{1}}{2}=2.\]

Par exemple \(x=1\) convient, donc \(P_2\) est vraie.
Négation : \(\overline{P_2} :\ (\forall x\in\mathbb{R}) : x^2-3x+2\ne 0\).

3) \(P_3 :\ (\forall x\in[1\,;6]) : x^2-7x+6\le 0\).

On a \(a=1\), \(b=-7\) et \(c=6\), donc

\[\Delta=(-7)^2-4\times1\times6=49-24=25>0.\]

Les racines du trinôme sont :

\[x_1=\frac{7-\sqrt{25}}{2}=1 \qquad\text{et}\qquad x_2=\frac{7+\sqrt{25}}{2}=6.\]

Donc pour tout \(x\in[1\,;6]\), on a \(x^2-7x+6\le 0\) : \(P_3\) est vraie.
Négation : \(\overline{P_3} :\ (\exists x\in[1\,;6]) : x^2-7x+6>0\).

4) \(P_4 :\ (\forall x\in\mathbb{R}) : x^2-2x+3>0\).

On a \(a=1\), \(b=-2\) et \(c=3\), donc

\[\Delta=(-2)^2-4\times1\times3=4-12=-8<0.\]

Le trinôme n’a pas de racine : il a le signe de \(a=1>0\) sur \(\mathbb{R}\). Donc \((\forall x\in\mathbb{R}) : x^2-2x+3>0\), et \(P_4\) est vraie.

Remarque : on peut aussi écrire \(x^2-2x+3=(x-1)^2+2>0\).

Négation : \(\overline{P_4} :\ (\exists x\in\mathbb{R}) : x^2-2x+3\le 0\).

Série n° 1 – Notions de logique · 1ère Bac Sc. Exp. (BIOF) · Prof : Yassine NACHIT

Correction de l’exercice 2 · Contre-exemple

Rappel : contre-exemple

Pour montrer que la proposition \((\forall x\in E) : p(x)\) est fausse, il suffit de montrer que sa négation \((\exists x\in E) : \overline{p(x)}\) est vraie, c’est-à-dire de trouver un contre-exemple.

1) \(P_1 :\ (\forall x\in\mathbb{R}) : \sqrt{x^2}=x\).

Montrons que \(\overline{P_1} :\ (\exists x\in\mathbb{R}) : \sqrt{x^2}\ne x\) est vraie.
Pour \(x=-1\) : \(\sqrt{(-1)^2}=\sqrt{1}=1\) et \(1\ne -1\).
Donc \(\overline{P_1}\) est vraie, d’où \(P_1\) est fausse.

Remarque : pour tout \(x\in\mathbb{R}\), \(\sqrt{x^2}=|x|\).

\(P_2 :\ (\forall x\in\mathbb{R}) : x^2\ge x\).
Montrons que \(\overline{P_2} :\ (\exists x\in\mathbb{R}) : x^2<x\) est vraie.
Pour \(x=\dfrac12\) : \(\left(\dfrac12\right)^2=\dfrac14\) et \(\dfrac14<\dfrac12\).
Donc \(\overline{P_2}\) est vraie, d’où \(P_2\) est fausse.

Remarque : pour trouver un contre-exemple, on peut résoudre l’inéquation \(x^2<x\) ; on trouve \(S=\left]0\,;1\right[\).

2) La négation de \((P\Rightarrow Q)\) est \(\left(P \text{ et } \overline{Q}\right)\). Donc :

\[(\overline{R}) :\ (\exists x\in\mathbb{R}) : \left[\,x^2=2x \text{ et } x\ne 0\,\right].\]

3) Pour \(x=2\) : \(x^2=4=2x\) et \(x\ne 0\).

Donc \(\overline{R}\) est vraie, d’où \((R)\) est fausse.

Remarque : pour trouver ce contre-exemple, on peut résoudre l’équation \(x^2=2x\), dont les solutions sont \(0\) et \(2\).

Série n° 1 – Notions de logique · 1ère Bac Sc. Exp. (BIOF) · Prof : Yassine NACHIT

Correction de l’exercice 3 · Contre-exemple

1) \(f(x)=0 \iff x^2-3x+2=0\).

\(\Delta=(-3)^2-4\times1\times2=1>0\), donc

\[x_1=\frac{3-\sqrt{1}}{2}=1 \qquad\text{et}\qquad x_2=\frac{3+\sqrt{1}}{2}=2.\]

D’où \(S=\{1\,;2\}\).

2) \((\overline{P}) :\ \left(\exists (a,b)\in\mathbb{R}^2\right) : f(a)=f(b) \text{ et } a\ne b\).

3) D’après la question 1), \(f(1)=f(2)=0\) avec \(1\ne 2\).

Donc \((\overline{P})\) est vraie, d’où \((P)\) est fausse.

Rappel : fonction paire, fonction impaire

• \(f\) est paire si, pour tout \(x\in D_f\) : \(-x\in D_f\) et \(f(-x)=f(x)\).
• \(f\) est impaire si, pour tout \(x\in D_f\) : \(-x\in D_f\) et \(f(-x)=-f(x)\).

4) \(f(1)=1-3+2=0\) et \(f(-1)=1+3+2=6\).

• \(f(-1)\ne f(1)\), donc \(f\) n’est pas paire.
• \(f(-1)\ne -f(1)\) (car \(6\ne 0\)), donc \(f\) n’est pas impaire.

Conclusion : \(f\) n’est ni paire ni impaire.

Série n° 1 – Notions de logique · 1ère Bac Sc. Exp. (BIOF) · Prof : Yassine NACHIT

Correction de l’exercice 4 · Implication

Rappel : implication et contraposée

Pour montrer que \(P\Rightarrow Q\) est vraie, on suppose que \(P\) est vraie et on montre que \(Q\) est vraie.
La contraposée de \(P\Rightarrow Q\) est \(\overline{Q}\Rightarrow\overline{P}\) ; elles ont la même valeur de vérité.

1) Supposons que \(x^2=4x\). Alors :

\[\begin{aligned} x^2=4x &\Rightarrow x^2-4x=0 \\ &\Rightarrow x(x-4)=0 \\ &\Rightarrow x=0 \text{ ou } x-4=0 \\ &\Rightarrow x=0 \text{ ou } x=4. \end{aligned}\]

Donc la proposition \((P)\) est vraie.

2) La contraposée de \((P)\) est :

\[\left(x\ne 0 \text{ et } x\ne 4\right) \Rightarrow \left(x^2\ne 4x\right).\]

Série n° 1 – Notions de logique · 1ère Bac Sc. Exp. (BIOF) · Prof : Yassine NACHIT

Correction de l’exercice 5 · Raisonnement déductif

Rappel : raisonnement déductif (direct)

Pour montrer que \(P\Rightarrow Q\) est vraie, on suppose que \(P\) est vraie et on montre que \(Q\) est vraie.
Pour tout \(X\in\mathbb{R}\) : si \(X^2=0\), alors \(X=0\).

1) Soient \(x,y\in\mathbb{R}\) tels que \(x^2+y^2=2xy\). Alors :

\[\begin{aligned} x^2+y^2=2xy &\Rightarrow x^2-2xy+y^2=0 \\ &\Rightarrow (x-y)^2=0 \\ &\Rightarrow x-y=0 \\ &\Rightarrow x=y. \end{aligned}\]

2) Soient \(x,y\in\mathbb{R}\) tels que \(1+xy-x-y=0\). Alors :

\[\begin{aligned} 1+xy-x-y=0 &\Rightarrow x(y-1)-(y-1)=0 \\ &\Rightarrow (y-1)(x-1)=0 \\ &\Rightarrow y-1=0 \text{ ou } x-1=0 \\ &\Rightarrow x=1 \text{ ou } y=1. \end{aligned}\]

3) \(m\) et \(n\) sont impairs, donc il existe deux entiers naturels \(k\) et \(k'\) tels que \(m=2k+1\) et \(n=2k'+1\). Alors :

\[m+n=2k+2k'+2=2(k+k'+1),\]

avec \(k+k'+1\in\mathbb{N}\). Donc \(m+n\) est pair.

Série n° 1 – Notions de logique · 1ère Bac Sc. Exp. (BIOF) · Prof : Yassine NACHIT

Correction de l’exercice 6 · Équivalence

Rappel : équivalence

Pour montrer que \(P\iff Q\), on montre que \(P\Rightarrow Q\) et \(Q\Rightarrow P\), ou bien on raisonne par équivalences successives.

1) Soit \(x\in\mathbb{R}\). Comme \(x^2+1>0\), on peut multiplier par \(2(x^2+1)>0\) :

\[\begin{aligned} \frac{x^2+x+1}{x^2+1}\le\frac32 &\iff 2(x^2+x+1)\le 3(x^2+1) \\ &\iff 2x^2+2x+2-3x^2-3\le 0 \\ &\iff -x^2+2x-1\le 0 \\ &\iff -(x-1)^2\le 0, \end{aligned}\]

ce qui est vrai. Donc \(\dfrac{x^2+x+1}{x^2+1}\le\dfrac32\).

Autre méthode : on étudie le signe de la différence :

\[\frac{x^2+x+1}{x^2+1}-\frac32=\frac{-(x-1)^2}{2(x^2+1)}\le 0.\]

2) Soient \(x,y\ge 0\). Les deux membres \(\sqrt{x+y}\) et \(\sqrt{x}+\sqrt{y}\) sont positifs, donc ils sont égaux si et seulement si leurs carrés sont égaux :

\[\begin{aligned} \sqrt{x+y}=\sqrt{x}+\sqrt{y} &\iff x+y=\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2 \\ &\iff x+y=x+2\sqrt{x}\sqrt{y}+y \\ &\iff 2\sqrt{x}\sqrt{y}=0 \\ &\iff \sqrt{x}=0 \text{ ou } \sqrt{y}=0 \\ &\iff x=0 \text{ ou } y=0. \end{aligned}\]

3) Soient \(a,b\ge 0\).

• Si \(a=0\) et \(b=0\), alors \(a+b=0\).
• Réciproquement, supposons \(a+b=0\). Alors \(a=-b\) ; or \(b\ge 0\), donc \(-b\le 0\), d’où \(a\le 0\). Comme \(a\ge 0\), on obtient \(a=0\), puis \(b=-a=0\).

Donc \(\left(a+b=0\right)\iff\left(a=0 \text{ et } b=0\right)\).

4) Soient \(x,y\ge 0\) ; on a alors \(x=\left(\sqrt{x}\right)^2\) et \(y=\left(\sqrt{y}\right)^2\).

\[\begin{aligned} x+y+13=4\sqrt{x}+6\sqrt{y} &\iff x-4\sqrt{x}+4+y-6\sqrt{y}+9=0 \\ &\iff \left(\sqrt{x}-2\right)^2+\left(\sqrt{y}-3\right)^2=0. \end{aligned}\]

Ces deux carrés sont positifs, donc d’après la question 3) :

\[\begin{aligned} &\iff \left(\sqrt{x}-2\right)^2=0 \text{ et } \left(\sqrt{y}-3\right)^2=0 \\ &\iff \sqrt{x}=2 \text{ et } \sqrt{y}=3 \\ &\iff x=4 \text{ et } y=9. \end{aligned}\]

Série n° 1 – Notions de logique · 1ère Bac Sc. Exp. (BIOF) · Prof : Yassine NACHIT

Correction de l’exercice 7 · Disjonction des cas

Rappel : disjonction des cas

Pour montrer qu’une propriété est vraie pour tout élément d’un ensemble \(E\), on peut partager \(E\) en plusieurs cas qui recouvrent \(E\), puis démontrer la propriété dans chacun des cas.

1) Soit \(n\in\mathbb{N}\).

► Cas 1 : \(n\) est pair, \(n=2k\) avec \(k\in\mathbb{N}\).

\(n^2+n+1=4k^2+2k+1=2(2k^2+k)+1\), donc \(n^2+n+1\) est impair.

► Cas 2 : \(n\) est impair, \(n=2k+1\) avec \(k\in\mathbb{N}\).

\[\begin{aligned} n^2+n+1 &= (2k+1)^2+(2k+1)+1 \\ &= 4k^2+6k+3=2(2k^2+3k+1)+1, \end{aligned}\]

donc \(n^2+n+1\) est impair.

Conclusion : pour tout \(n\in\mathbb{N}\), l’entier \(n^2+n+1\) est impair.

2) Le reste de la division euclidienne de \(n\) par \(3\) vaut \(0\), \(1\) ou \(2\) ; d’où trois cas (\(k\in\mathbb{N}\)).

► Cas 1 : \(n=3k\).

\(n(n+1)(n+2)=3k(3k+1)(3k+2)\) est un multiple de \(3\).

► Cas 2 : \(n=3k+1\).

\[\begin{aligned} n(n+1)(n+2) &= (3k+1)(3k+2)(3k+3) \\ &= 3(3k+1)(3k+2)(k+1), \end{aligned}\]

c’est un multiple de \(3\).

► Cas 3 : \(n=3k+2\).

\[\begin{aligned} n(n+1)(n+2) &= (3k+2)(3k+3)(3k+4) \\ &= 3(3k+2)(k+1)(3k+4), \end{aligned}\]

c’est un multiple de \(3\).

Conclusion : pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(n(n+1)(n+2)\) est un multiple de \(3\).

3) Soit \(x\in\mathbb{R}\).

► Cas 1 : \(x<0\).

On a \(-x>0\) et \(\sqrt{x^2+1}>0\), donc \(\sqrt{x^2+1}-x=\sqrt{x^2+1}+(-x)>0\).

► Cas 2 : \(x\ge 0\).

On a \(x^2+1>x^2\), donc \(\sqrt{x^2+1}>\sqrt{x^2}=|x|=x\) (car \(x\ge 0\)). D’où \(\sqrt{x^2+1}-x>0\).

Autre méthode (cas 2), avec l’expression conjuguée :

\[\begin{aligned} \sqrt{x^2+1}-x &= \frac{(x^2+1)-x^2}{\sqrt{x^2+1}+x} \\ &= \frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}>0. \end{aligned}\]

Conclusion : \((\forall x\in\mathbb{R}) : \sqrt{x^2+1}-x>0\).

4) Équation \((E_1) :\ x^2-|x-1|-1=0\).

On a \(|x-1|=x-1\) si \(x\ge 1\), et \(|x-1|=-(x-1)\) si \(x<1\).

► Cas 1 : \(x\in\left[1\,;+\infty\right[\), donc \(|x-1|=x-1\).

\[\begin{aligned} (E_1) &\iff x^2-(x-1)-1=0 \iff x^2-x=0 \\ &\iff x(x-1)=0 \iff x=0 \text{ ou } x=1. \end{aligned}\]

Or \(0\notin\left[1\,;+\infty\right[\), donc \(S_1=\{1\}\).

► Cas 2 : \(x\in\left]-\infty\,;1\right[\), donc \(|x-1|=-(x-1)\).

\[(E_1) \iff x^2+(x-1)-1=0 \iff x^2+x-2=0.\]

\(\Delta=1^2-4\times1\times(-2)=9>0\), d’où

\[x_1=\frac{-1-3}{2}=-2 \qquad\text{et}\qquad x_2=\frac{-1+3}{2}=1.\]

Or \(1\notin\left]-\infty\,;1\right[\), donc \(S_2=\{-2\}\).

Conclusion : \(S=S_1\cup S_2=\{-2\,;1\}\).

Équation \((E_2) :\ |x+1|-3|x-2|+1=0\).

On a \(|x+1|=x+1\) si \(x\ge -1\), et \(|x+1|=-(x+1)\) si \(x<-1\) ;
\(|x-2|=x-2\) si \(x\ge 2\), et \(|x-2|=-(x-2)\) si \(x<2\).

► Cas 1 : \(x\in\left[2\,;+\infty\right[\).

\[\begin{aligned} (E_2) &\iff (x+1)-3(x-2)+1=0 \\ &\iff -2x+8=0 \iff x=4. \end{aligned}\]

Or \(4\in\left[2\,;+\infty\right[\), donc \(S_1=\{4\}\).

► Cas 2 : \(x\in\left[-1\,;2\right[\).

\[\begin{aligned} (E_2) &\iff (x+1)-3(-x+2)+1=0 \\ &\iff 4x-4=0 \iff x=1. \end{aligned}\]

Or \(1\in\left[-1\,;2\right[\), donc \(S_2=\{1\}\).

► Cas 3 : \(x\in\left]-\infty\,;-1\right[\).

\[\begin{aligned} (E_2) &\iff -(x+1)-3(-x+2)+1=0 \\ &\iff 2x-6=0 \iff x=3. \end{aligned}\]

Or \(3\notin\left]-\infty\,;-1\right[\), donc \(S_3=\varnothing\).

Conclusion : \(S=S_1\cup S_2\cup S_3=\{1\,;4\}\).

Série n° 1 – Notions de logique · 1ère Bac Sc. Exp. (BIOF) · Prof : Yassine NACHIT

Correction de l’exercice 8 · Contraposée

Rappel : raisonnement par contraposée

Pour montrer que \(P\Rightarrow Q\) est vraie, il suffit de montrer que sa contraposée \(\overline{Q}\Rightarrow\overline{P}\) est vraie : on suppose que \(\overline{Q}\) est vraie et on montre que \(\overline{P}\) est vraie.

1) a) Soit \(y\in\mathbb{R}\). Par contraposée, montrons que :

\[\left(2y^2-8=0\right)\Rightarrow\left(y=2 \text{ ou } y=-2\right).\]

On a :

\[\begin{aligned} 2y^2-8=0 &\Rightarrow y^2=4 \\ &\Rightarrow y=2 \text{ ou } y=-2. \end{aligned}\]

D’où \(\left(y\ne 2 \text{ et } y\ne -2\right)\Rightarrow\left(2y^2-8\ne 0\right)\).

b) Soit \(x\in\mathbb{R}^+\). Par contraposée, montrons que :

\[\left(\sqrt{x+1}=1+\frac{x}{2}\right)\Rightarrow\left(x=0\right).\]

On a :

\[\begin{aligned} \sqrt{x+1}=1+\frac{x}{2} &\Rightarrow 2\sqrt{x+1}=2+x \\ &\Rightarrow 4(x+1)=(2+x)^2 \\ &\Rightarrow 4x+4=4+4x+x^2 \\ &\Rightarrow x^2=0 \Rightarrow x=0. \end{aligned}\]

D’où \(\left(x\ne 0\right)\Rightarrow\left(\sqrt{x+1}\ne 1+\dfrac{x}{2}\right)\).

2) Soit \(n\in\mathbb{N}\). Par contraposée, montrons que si \(n\) est impair, alors \(n^2\) est impair.

Si \(n\) est impair, \(n=2k+1\) avec \(k\in\mathbb{N}\), donc

\[n^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1\]

est impair. D’où : si \(n^2\) est pair, alors \(n\) est pair.

3) Soient \(x,y\in\left]2\,;+\infty\right[\). Par contraposée, montrons que :

\[\left(x^2-4x=y^2-4y\right)\Rightarrow\left(x=y\right).\]

On a :

\[\begin{aligned} x^2-4x=y^2-4y &\Rightarrow x^2-4x+4=y^2-4y+4 \\ &\Rightarrow (x-2)^2-(y-2)^2=0 \\ &\Rightarrow (x-2+y-2)(x-2-y+2)=0 \\ &\Rightarrow (x+y-4)(x-y)=0. \end{aligned}\]

Or \(x>2\) et \(y>2\), donc \(x+y-4>0\), en particulier \(x+y-4\ne 0\).
Donc \(x-y=0\), c’est-à-dire \(x=y\).
D’où \(\left(x\ne y\right)\Rightarrow\left(x^2-4x\ne y^2-4y\right)\).

Série n° 1 – Notions de logique · 1ère Bac Sc. Exp. (BIOF) · Prof : Yassine NACHIT

Correction de l’exercice 9 · Raisonnement par l’absurde

Rappel : raisonnement par l’absurde

Pour montrer qu’une proposition \(P\) est vraie, on suppose que \(\overline{P}\) est vraie et on montre que cela conduit à une contradiction (une proposition fausse). On conclut alors que \(P\) est vraie.

1) Supposons qu’il existe \(x\in\mathbb{R}-\left\{\dfrac23\right\}\) tel que

\[\frac{4x+1}{3x-2}=\frac43.\]

Alors (produit en croix, avec \(3x-2\ne 0\)) :

\[\begin{aligned} 3(4x+1)=4(3x-2) &\Rightarrow 12x+3=12x-8 \\ &\Rightarrow 3=-8, \end{aligned}\]

ce qui est absurde. Donc :

\[\left(\forall x\in\mathbb{R}-\left\{\frac23\right\}\right) : \frac{4x+1}{3x-2}\ne\frac43.\]

2) Supposons qu’il existe \(n\in\mathbb{N}\) et \(k\in\mathbb{N}\) tels que

\[\frac{6n+5}{4n+2}=k.\]

Alors :

\[\begin{aligned} 6n+5=k(4n+2) &\Rightarrow 6n+4+1=k(4n+2) \\ &\Rightarrow 2(3n+2)+1=2k(2n+1). \end{aligned}\]

Le membre de gauche est impair et celui de droite est pair : contradiction. Donc :

\[(\forall n\in\mathbb{N}) : \frac{6n+5}{4n+2}\notin\mathbb{N}.\]

3) Supposons qu’il existe \(x\in\mathbb{R}\) tel que \(x-\sqrt{x^2+1}\ge 0\), c’est-à-dire

\[x\ge\sqrt{x^2+1}.\]

Comme \(\sqrt{x^2+1}>0\), on a \(x>0\) ; les deux membres étant positifs, on peut élever au carré :

\[x^2\ge x^2+1, \quad\text{d’où}\quad 0\ge 1,\]

ce qui est absurde. Donc :

\[(\forall x\in\mathbb{R}) : x-\sqrt{x^2+1}<0.\]

Série n° 1 – Notions de logique · 1ère Bac Sc. Exp. (BIOF) · Prof : Yassine NACHIT

Correction de l’exercice 10 · Récurrence

Rappel : raisonnement par récurrence

Soient \(n_0\in\mathbb{N}\) et \(p(n)\) une propriété. Pour montrer que \((\forall n\ge n_0) : p(n)\), on suit trois étapes :

• Initialisation : on vérifie que \(p(n_0)\) est vraie.
• Hérédité : soit \(n\ge n_0\) ; on suppose que \(p(n)\) est vraie (hypothèse de récurrence) et on montre que \(p(n+1)\) est vraie.
• Conclusion : d’après le principe de récurrence, \(p(n)\) est vraie pour tout \(n\ge n_0\).

1) \(S_1=1\) ; \(\quad S_2=1+2=3\) ; \(\quad S_3=1+2+3=6\).

2) Initialisation : pour \(n=1\), on a \(S_1=1\) et \(\dfrac{1\times(1+1)}{2}=1\). La propriété est vraie pour \(n=1\).

Hérédité : soit \(n\in\mathbb{N}^*\). Supposons que

\[1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}\]

et montrons que

\[1+2+\cdots+n+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}.\]

On a :

\[\begin{aligned} 1+2+\cdots+n+(n+1) &= \frac{n(n+1)}{2}+(n+1) \\ &= \frac{n(n+1)+2(n+1)}{2} \\ &= \frac{(n+1)(n+2)}{2}. \end{aligned}\]

Conclusion : d’après le principe de récurrence,

\[(\forall n\in\mathbb{N}^*) :\ 1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}.\]

3) Soit \(n\in\mathbb{N}^*\). D’après 2), \(n(n+1)=2(1+2+\cdots+n)=2S_n\) avec \(S_n\in\mathbb{N}\). Donc \(n(n+1)\) est pair.

4) \(S_{100}=\dfrac{100\times101}{2}=5050\).

Série n° 1 – Notions de logique · 1ère Bac Sc. Exp. (BIOF) · Prof : Yassine NACHIT

Correction de l’exercice 11 · Récurrence

1) Initialisation : pour \(n=1\), \(7^1-2^1=5\), qui est divisible par \(5\).

Hérédité : soit \(n\in\mathbb{N}^*\). Supposons que \(7^n-2^n\) est divisible par \(5\) : il existe \(k\in\mathbb{N}\) tel que \(7^n-2^n=5k\), c’est-à-dire \(7^n=5k+2^n\). Alors :

\[\begin{aligned} 7^{n+1}-2^{n+1} &= 7\times7^n-2\times2^n \\ &= 7(5k+2^n)-2\times2^n \\ &= 35k+5\times2^n=5\left(7k+2^n\right). \end{aligned}\]

Donc \(7^{n+1}-2^{n+1}\) est divisible par \(5\).

Conclusion : pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\), \(7^n-2^n\) est divisible par \(5\).

2) Initialisation : pour \(n=0\), le membre de gauche vaut \(4^0=1\) et \(\dfrac{4^{0+1}-1}{3}=1\). La propriété est vraie pour \(n=0\).

Hérédité : soit \(n\in\mathbb{N}\). Supposons que

\[1+4+\cdots+4^n=\frac{4^{n+1}-1}{3}.\]

Alors :

\[\begin{aligned} 1+4+\cdots+4^n+4^{n+1} &= \frac{4^{n+1}-1}{3}+4^{n+1} \\ &= \frac{4^{n+1}-1+3\times4^{n+1}}{3} \\ &= \frac{4\times4^{n+1}-1}{3}=\frac{4^{n+2}-1}{3}. \end{aligned}\]

Conclusion : pour tout \(n\in\mathbb{N}\),

\[1+4+4^2+\cdots+4^n=\frac{4^{n+1}-1}{3}.\]

3) Initialisation : pour \(n=1\), \(1^3=1\) et \(\left[\dfrac{1\times2}{2}\right]^2=1\).

Hérédité : soit \(n\in\mathbb{N}^*\). Supposons que

\[1^3+2^3+\cdots+n^3=\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2.\]

Alors :

\[\begin{aligned} 1^3+\cdots+n^3+(n+1)^3 &= \frac{n^2(n+1)^2}{4}+(n+1)^3 \\ &= \frac{(n+1)^2\left(n^2+4(n+1)\right)}{4} \\ &= \frac{(n+1)^2\left(n^2+4n+4\right)}{4} \\ &= \frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4} \\ &= \left[\frac{(n+1)(n+2)}{2}\right]^2. \end{aligned}\]

Conclusion : pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\),

\[1^3+2^3+\cdots+n^3=\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2.\]

4) Initialisation : pour \(n=0\), \(2^0=1\ge 0\).

Hérédité : soit \(n\in\mathbb{N}\). Supposons que \(2^n\ge n\). On a aussi \(2^n\ge 1\) (car \(n\ge 0\)). En additionnant ces deux inégalités :

\[2^n+2^n\ge n+1, \quad\text{c’est-à-dire}\quad 2^{n+1}\ge n+1.\]

Conclusion : \((\forall n\in\mathbb{N}) :\ 2^n\ge n\).

Série n° 1 – Notions de logique · 1ère Bac Sc. Exp. (BIOF) · Prof : Yassine NACHIT

Correction de l’exercice 12 · Récurrence

1) On développe :

\[\begin{aligned} (n+2)(2n+3) &= 2n^2+3n+4n+6 \\ &= 2n^2+7n+6. \end{aligned}\]

2) Initialisation : pour \(n=1\), \(1^2=1\) et \(\dfrac{1\times2\times3}{6}=1\).

Hérédité : soit \(n\in\mathbb{N}^*\). Supposons que

\[1^2+2^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\]

et montrons que

\[1^2+\cdots+n^2+(n+1)^2=\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}.\]

On a :

\[\begin{aligned} 1^2+\cdots+n^2+(n+1)^2 &= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2 \\ &= \frac{(n+1)\left[n(2n+1)+6(n+1)\right]}{6} \\ &= \frac{(n+1)(2n^2+7n+6)}{6} \\ &= \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6} \quad \text{(d’après 1))}. \end{aligned}\]

Conclusion : d’après le principe de récurrence, pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\),

\[1^2+2^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.\]