Contre-exemple

Série n° 1 – Notions de logique · 1ère Bac Sc. Exp. (BIOF) · Prof : Yassine NACHIT

Correction de l’exercice 2 · Contre-exemple

Rappel : contre-exemple

Pour montrer que la proposition \((\forall x\in E) : p(x)\) est fausse, il suffit de montrer que sa négation \((\exists x\in E) : \overline{p(x)}\) est vraie, c’est-à-dire de trouver un contre-exemple.

1) \(P_1 :\ (\forall x\in\mathbb{R}) : \sqrt{x^2}=x\).

Montrons que \(\overline{P_1} :\ (\exists x\in\mathbb{R}) : \sqrt{x^2}\ne x\) est vraie.
Pour \(x=-1\) : \(\sqrt{(-1)^2}=\sqrt{1}=1\) et \(1\ne -1\).
Donc \(\overline{P_1}\) est vraie, d’où \(P_1\) est fausse.

Remarque : pour tout \(x\in\mathbb{R}\), \(\sqrt{x^2}=|x|\).

\(P_2 :\ (\forall x\in\mathbb{R}) : x^2\ge x\).
Montrons que \(\overline{P_2} :\ (\exists x\in\mathbb{R}) : x^2<x\) est vraie.
Pour \(x=\dfrac12\) : \(\left(\dfrac12\right)^2=\dfrac14\) et \(\dfrac14<\dfrac12\).
Donc \(\overline{P_2}\) est vraie, d’où \(P_2\) est fausse.

Remarque : pour trouver un contre-exemple, on peut résoudre l’inéquation \(x^2<x\) ; on trouve \(S=\left]0\,;1\right[\).

2) La négation de \((P\Rightarrow Q)\) est \(\left(P \text{ et } \overline{Q}\right)\). Donc :

\[(\overline{R}) :\ (\exists x\in\mathbb{R}) : \left[\,x^2=2x \text{ et } x\ne 0\,\right].\]

3) Pour \(x=2\) : \(x^2=4=2x\) et \(x\ne 0\).

Donc \(\overline{R}\) est vraie, d’où \((R)\) est fausse.

Remarque : pour trouver ce contre-exemple, on peut résoudre l’équation \(x^2=2x\), dont les solutions sont \(0\) et \(2\).