Exercice 11
MoyenSérie n° 1 – Notions de logique · 1ère Bac Sc. Exp. (BIOF) · Prof : Yassine NACHIT
Exercice 11 · Récurrence
Montrer par récurrence que :
- pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\), \(7^n-2^n\) est divisible par \(5\) ;
- pour tout \(n\in\mathbb{N}\) : \(1+4+4^2+\cdots+4^n=\dfrac{4^{n+1}-1}{3}\) ;
- pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\) : \(1^3+2^3+\cdots+n^3=\left[\dfrac{n(n+1)}{2}\right]^2\) ;
- pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(2^n\ge n\).
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Série n° 1 – Notions de logique · 1ère Bac Sc. Exp. (BIOF) · Prof : Yassine NACHIT
Correction de l’exercice 11 · Récurrence
1) Initialisation : pour \(n=1\), \(7^1-2^1=5\), qui est divisible par \(5\).
Hérédité : soit \(n\in\mathbb{N}^*\). Supposons que \(7^n-2^n\) est divisible par \(5\) : il existe \(k\in\mathbb{N}\) tel que \(7^n-2^n=5k\), c’est-à-dire \(7^n=5k+2^n\). Alors :
\[\begin{aligned} 7^{n+1}-2^{n+1} &= 7\times7^n-2\times2^n \\ &= 7(5k+2^n)-2\times2^n \\ &= 35k+5\times2^n=5\left(7k+2^n\right). \end{aligned}\]
Donc \(7^{n+1}-2^{n+1}\) est divisible par \(5\).
Conclusion : pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\), \(7^n-2^n\) est divisible par \(5\).
2) Initialisation : pour \(n=0\), le membre de gauche vaut \(4^0=1\) et \(\dfrac{4^{0+1}-1}{3}=1\). La propriété est vraie pour \(n=0\).
Hérédité : soit \(n\in\mathbb{N}\). Supposons que
\[1+4+\cdots+4^n=\frac{4^{n+1}-1}{3}.\]
Alors :
\[\begin{aligned} 1+4+\cdots+4^n+4^{n+1} &= \frac{4^{n+1}-1}{3}+4^{n+1} \\ &= \frac{4^{n+1}-1+3\times4^{n+1}}{3} \\ &= \frac{4\times4^{n+1}-1}{3}=\frac{4^{n+2}-1}{3}. \end{aligned}\]
Conclusion : pour tout \(n\in\mathbb{N}\),
\[1+4+4^2+\cdots+4^n=\frac{4^{n+1}-1}{3}.\]
3) Initialisation : pour \(n=1\), \(1^3=1\) et \(\left[\dfrac{1\times2}{2}\right]^2=1\).
Hérédité : soit \(n\in\mathbb{N}^*\). Supposons que
\[1^3+2^3+\cdots+n^3=\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2.\]
Alors :
\[\begin{aligned} 1^3+\cdots+n^3+(n+1)^3 &= \frac{n^2(n+1)^2}{4}+(n+1)^3 \\ &= \frac{(n+1)^2\left(n^2+4(n+1)\right)}{4} \\ &= \frac{(n+1)^2\left(n^2+4n+4\right)}{4} \\ &= \frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4} \\ &= \left[\frac{(n+1)(n+2)}{2}\right]^2. \end{aligned}\]
Conclusion : pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\),
\[1^3+2^3+\cdots+n^3=\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2.\]
4) Initialisation : pour \(n=0\), \(2^0=1\ge 0\).
Hérédité : soit \(n\in\mathbb{N}\). Supposons que \(2^n\ge n\). On a aussi \(2^n\ge 1\) (car \(n\ge 0\)). En additionnant ces deux inégalités :
\[2^n+2^n\ge n+1, \quad\text{c’est-à-dire}\quad 2^{n+1}\ge n+1.\]
Conclusion : \((\forall n\in\mathbb{N}) :\ 2^n\ge n\).