Exercice 10
MoyenSérie n° 1 – Notions de logique · 1ère Bac Sc. Exp. (BIOF) · Prof : Yassine NACHIT
Exercice 10 · Récurrence
Pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\), on pose : \(S_n=1+2+\cdots+n\).
- Calculer \(S_1\), \(S_2\) et \(S_3\).
- Montrer par récurrence que, pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\) : \(1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}\).
- En déduire que \(n(n+1)\) est pair.
- Calculer \(S_{100}\).
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Série n° 1 – Notions de logique · 1ère Bac Sc. Exp. (BIOF) · Prof : Yassine NACHIT
Correction de l’exercice 10 · Récurrence
Rappel : raisonnement par récurrence
Soient \(n_0\in\mathbb{N}\) et \(p(n)\) une propriété. Pour montrer que \((\forall n\ge n_0) : p(n)\), on suit trois étapes :
- Initialisation : on vérifie que \(p(n_0)\) est vraie.
- Hérédité : soit \(n\ge n_0\) ; on suppose que \(p(n)\) est vraie (hypothèse de récurrence) et on montre que \(p(n+1)\) est vraie.
- Conclusion : d’après le principe de récurrence, \(p(n)\) est vraie pour tout \(n\ge n_0\).
1) \(S_1=1\) ; \(\quad S_2=1+2=3\) ; \(\quad S_3=1+2+3=6\).
2) Initialisation : pour \(n=1\), on a \(S_1=1\) et \(\dfrac{1\times(1+1)}{2}=1\). La propriété est vraie pour \(n=1\).
Hérédité : soit \(n\in\mathbb{N}^*\). Supposons que
\[1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}\]
et montrons que
\[1+2+\cdots+n+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}.\]
On a :
\[\begin{aligned} 1+2+\cdots+n+(n+1) &= \frac{n(n+1)}{2}+(n+1) \\ &= \frac{n(n+1)+2(n+1)}{2} \\ &= \frac{(n+1)(n+2)}{2}. \end{aligned}\]
Conclusion : d’après le principe de récurrence,
\[(\forall n\in\mathbb{N}^*) :\ 1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}.\]
3) Soit \(n\in\mathbb{N}^*\). D’après 2), \(n(n+1)=2(1+2+\cdots+n)=2S_n\) avec \(S_n\in\mathbb{N}\). Donc \(n(n+1)\) est pair.
4) \(S_{100}=\dfrac{100\times101}{2}=5050\).