Mathématiques · Géométrie analytique

Le repère dans le plan

Coordonnées d’un point et d’un vecteur, milieu d’un segment, distance, colinéarité et alignement : cours et applications corrigées.

Matière: Mathématiques
Niveau: Tronc Commun
Filière: Tronc Commun Lettres
Session: Semestre 2

Cours الدرس

I. Repère du plan et coordonnées

Activité 1

Dans la figure ci-dessous, chaque carreau a pour côté \(1\) et les points \(O\), \(I\) et \(J\) vérifient \(OI = OJ = 1\).

Quadrillage avec le repère (O ; I, J) et quatre points A, B, C et D dont il faut lire les coordonnées

1) Lire les coordonnées des points \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\).

2) Reproduire la figure, puis placer les points \(E(1\,;-3)\), \(F(-2\,;0)\) et \(G(0\,;2)\).

3) Pour aller de \(A\) à \(B\), de combien de carreaux se déplace-t-on horizontalement, puis verticalement ? Même question pour aller de \(D\) à \(C\).

4) Placer le point \(M\) tel que, pour aller de \(A\) à \(M\), on avance de \(1\) carreau vers la droite et de \(2\) carreaux vers le haut.

1. Repère du plan

Définition

Soient \(O\), \(I\) et \(J\) trois points non alignés du plan. Le triplet \((O\,;I\,,J)\) est appelé un repère du plan.

• Le point \(O\) est l’origine du repère.

• La droite \((OI)\) est l’axe des abscisses et la droite \((OJ)\) est l’axe des ordonnées.

• Si les droites \((OI)\) et \((OJ)\) sont perpendiculaires, le repère est dit orthogonal.

• Si de plus \(OI = OJ = 1\), le repère est dit orthonormé.

Trois repères du plan : un repère quelconque, un repère orthogonal et un repère orthonormé

Remarque

En posant \(\vec{i} = \overrightarrow{OI}\) et \(\vec{j} = \overrightarrow{OJ}\), le repère \((O\,;I\,,J)\) se note aussi \((O\,;\vec{i}\,,\vec{j})\). Le couple \((\vec{i}\,,\vec{j})\) est appelé une base.

2. Coordonnées d’un point

Définition

Le plan est muni d’un repère \((O\,;\vec{i}\,,\vec{j})\). Pour tout point \(M\) du plan, il existe un seul couple de nombres réels \((x\,;y)\) tel que :
\[\overrightarrow{OM} = x\,\vec{i} + y\,\vec{j}\]
Le couple \((x\,;y)\) est le couple des coordonnées du point \(M\) ; on écrit \(M(x\,;y)\).

Le nombre \(x\) est l’abscisse de \(M\) et le nombre \(y\) est son ordonnée.

Point M de coordonnées x et y dans un repère : x se lit sur l’axe des abscisses et y sur l’axe des ordonnées

Exemples

On a \(O(0\,;0)\), \(I(1\,;0)\) et \(J(0\,;1)\). Un point de l’axe des abscisses a une ordonnée nulle ; un point de l’axe des ordonnées a une abscisse nulle.

3. Coordonnées d’un vecteur

Définition

Pour tout vecteur \(\vec{u}\) du plan, il existe un seul couple de nombres réels \((x\,;y)\) tel que \(\vec{u} = x\,\vec{i} + y\,\vec{j}\).

Le couple \((x\,;y)\) est le couple des coordonnées du vecteur \(\vec{u}\) ; on écrit \(\vec{u}(x\,;y)\).

Propriétés

Soient \(A(x_A\,;y_A)\) et \(B(x_B\,;y_B)\) deux points, \(\vec{u}(x\,;y)\) et \(\vec{v}(x'\,;y')\) deux vecteurs et \(k\) un nombre réel.

• Le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) a pour coordonnées :
\[\overrightarrow{AB}(x_B - x_A\,;\,y_B - y_A)\]
• \(\vec{u} = \vec{v}\) équivaut à \(x = x'\) et \(y = y'\).

• Le vecteur \(\vec{u} + \vec{v}\) a pour coordonnées \((x + x'\,;\,y + y')\).

• Le vecteur \(k\,\vec{u}\) a pour coordonnées \((kx\,;\,ky)\).

Exemple

Soient \(A(1\,;2)\) et \(B(4\,;-1)\). On a :

\[\overrightarrow{AB}(4 - 1\,;\,-1 - 2)\]

donc \(\overrightarrow{AB}(3\,;-3)\). De plus, le vecteur \(2\,\overrightarrow{AB}\) a pour coordonnées \((6\,;-6)\).

Application 1

Dans chacun des cas suivants, déterminer les coordonnées des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{BC}\).

1) \(A(2\,;5)\), \(B(4\,;1)\) et \(C(-1\,;3)\).

2) \(A(3\,;\sqrt{3})\), \(B(0\,;1)\) et \(C(-\sqrt{3}\,;0)\).

Correction de l’application 1

1) On applique la formule \(\overrightarrow{AB}(x_B - x_A\,;\,y_B - y_A)\) :

• \(\overrightarrow{AB}(4 - 2\,;\,1 - 5)\), donc \(\overrightarrow{AB}(2\,;-4)\).

• \(\overrightarrow{AC}(-1 - 2\,;\,3 - 5)\), donc \(\overrightarrow{AC}(-3\,;-2)\).

• \(\overrightarrow{BC}(-1 - 4\,;\,3 - 1)\), donc \(\overrightarrow{BC}(-5\,;2)\).

2) De même :

• \(\overrightarrow{AB}(0 - 3\,;\,1 - \sqrt{3})\), donc \(\overrightarrow{AB}(-3\,;\,1 - \sqrt{3})\).

• \(\overrightarrow{AC}(-\sqrt{3} - 3\,;\,0 - \sqrt{3})\), donc \(\overrightarrow{AC}(-3 - \sqrt{3}\,;\,-\sqrt{3})\).

• \(\overrightarrow{BC}(-\sqrt{3} - 0\,;\,0 - 1)\), donc \(\overrightarrow{BC}(-\sqrt{3}\,;-1)\).

II. Coordonnées du milieu d’un segment

Propriété

Soient \(A(x_A\,;y_A)\) et \(B(x_B\,;y_B)\) deux points du plan. Le milieu \(I\) du segment \([AB]\) a pour coordonnées :
\[\begin{aligned} x_I &= \dfrac{x_A + x_B}{2} \\[2mm] y_I &= \dfrac{y_A + y_B}{2} \end{aligned}\]

Exemple

Soient \(A(1\,;3)\) et \(B(5\,;-1)\). Le milieu \(I\) de \([AB]\) vérifie :

\[\begin{aligned} x_I &= \dfrac{1 + 5}{2} = 3 \\[2mm] y_I &= \dfrac{3 + (-1)}{2} = 1 \end{aligned}\]

Donc \(I(3\,;1)\).

Application 2

Déterminer les coordonnées du milieu \(I\) du segment \([AB]\) dans chacun des cas suivants :

1) \(A(3\,;2)\) et \(B(5\,;8)\).

2) \(A(-4\,;6)\) et \(B(0\,;-2)\).

3) \(A\left(\dfrac{1}{2}\,;-3\right)\) et \(B\left(\dfrac{5}{2}\,;4\right)\).

Correction de l’application 2

1) On a :

\[\begin{aligned} x_I &= \dfrac{3 + 5}{2} = 4 \\[2mm] y_I &= \dfrac{2 + 8}{2} = 5 \end{aligned}\]

Donc \(I(4\,;5)\).

2) On a :

\[\begin{aligned} x_I &= \dfrac{-4 + 0}{2} = -2 \\[2mm] y_I &= \dfrac{6 + (-2)}{2} = 2 \end{aligned}\]

Donc \(I(-2\,;2)\).

3) On a \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{5}{2} = 3\) et \(-3 + 4 = 1\), donc :

\[x_I = \dfrac{3}{2} \quad \text{et} \quad y_I = \dfrac{1}{2}\]

Donc \(I\left(\dfrac{3}{2}\,;\dfrac{1}{2}\right)\).

III. Distance entre deux points

Dans ce paragraphe, le plan est muni d’un repère orthonormé \((O\,;\vec{i}\,,\vec{j})\).

Propriété

Soient \(A(x_A\,;y_A)\) et \(B(x_B\,;y_B)\) deux points du plan. On a :
\[AB^{2} = (x_B - x_A)^{2} + (y_B - y_A)^{2}\]
La distance \(AB\) est la racine carrée de ce nombre.

\[AB = \sqrt{(x_B - x_A)^{2} + (y_B - y_A)^{2}}\]

Triangle rectangle d’hypoténuse AB dont les côtés de l’angle droit mesurent xB - xA et yB - yA

Remarque

Cette formule vient du théorème de Pythagore, appliqué au triangle rectangle de la figure. Elle n’est valable que dans un repère orthonormé.

Exemple

Soient \(A(1\,;2)\) et \(B(4\,;6)\). On a :

\[\begin{aligned} AB &= \sqrt{(4 - 1)^{2} + (6 - 2)^{2}} \\ &= \sqrt{3^{2} + 4^{2}} \\ &= \sqrt{25} = 5 \end{aligned}\]

Application 3

On considère les points \(A(1\,;5)\), \(B(3\,;1)\) et \(C(7\,;3)\).

1) Calculer les distances \(AB\), \(BC\) et \(AC\).

2) Montrer que le triangle \(ABC\) est rectangle et isocèle en \(B\).

Correction de l’application 3

1) On applique la formule de la distance :

\[\begin{aligned} AB &= \sqrt{(3 - 1)^{2} + (1 - 5)^{2}} \\ &= \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \end{aligned}\] \[\begin{aligned} BC &= \sqrt{(7 - 3)^{2} + (3 - 1)^{2}} \\ &= \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \end{aligned}\] \[\begin{aligned} AC &= \sqrt{(7 - 1)^{2} + (3 - 5)^{2}} \\ &= \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \end{aligned}\]

2) • On a \(AB = BC = 2\sqrt{5}\), donc le triangle \(ABC\) est isocèle en \(B\).

• On a \(AB^{2} + BC^{2} = 20 + 20 = 40\) et \(AC^{2} = 40\), donc \(AB^{2} + BC^{2} = AC^{2}\). D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle \(ABC\) est rectangle en \(B\).

Triangle ABC de sommets A(1 ; 5), B(3 ; 1) et C(7 ; 3), rectangle et isocèle en B

IV. Colinéarité de deux vecteurs et alignement

1. Condition de colinéarité

Définition

Deux vecteurs non nuls \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires s’il existe un nombre réel \(k\) tel que \(\vec{v} = k\,\vec{u}\). Ils ont alors la même direction.

Par convention, le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.

Propriété

Soient \(\vec{u}(x\,;y)\) et \(\vec{v}(x'\,;y')\) deux vecteurs du plan. Les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires si et seulement si :
\[xy' - x'y = 0\]

Exemples

• Pour \(\vec{u}(2\,;3)\) et \(\vec{v}(4\,;6)\) : \(2 \times 6 - 4 \times 3 = 0\). Les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires (on a \(\vec{v} = 2\,\vec{u}\)).

• Pour \(\vec{u}(1\,;2)\) et \(\vec{v}(3\,;5)\) : \(1 \times 5 - 3 \times 2 = -1 \neq 0\). Les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) ne sont pas colinéaires.

Application 4

Dans chacun des cas suivants, dire si les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires :

1) \(\vec{u}(3\,;-2)\) et \(\vec{v}(-6\,;4)\).

2) \(\vec{u}(-2\,;5)\) et \(\vec{v}(4\,;-9)\).

3) \(\vec{u}\left(\dfrac{1}{2}\,;3\right)\) et \(\vec{v}(2\,;12)\).

Correction de l’application 4

On calcule à chaque fois le nombre \(xy' - x'y\).

1) \(3 \times 4 - (-6) \times (-2) = 12 - 12 = 0\). Les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires (on a \(\vec{v} = -2\,\vec{u}\)).

2) \((-2) \times (-9) - 4 \times 5 = 18 - 20 = -2\). Ce nombre n’est pas nul, donc \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) ne sont pas colinéaires.

3) \(\dfrac{1}{2} \times 12 - 2 \times 3 = 6 - 6 = 0\). Les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires (on a \(\vec{v} = 4\,\vec{u}\)).

2. Alignement de trois points et parallélisme

Propriétés

• Trois points \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés si et seulement si les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires.

• Deux droites \((AB)\) et \((CD)\) sont parallèles si et seulement si les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont colinéaires.

Application 5

On considère les points \(A(1\,;-1)\), \(B(3\,;3)\), \(C(4\,;5)\) et \(D(0\,;-2)\).

1) Les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont-ils alignés ?

2) Les points \(A\), \(B\) et \(D\) sont-ils alignés ?

Correction de l’application 5

1) On a \(\overrightarrow{AB}(3 - 1\,;\,3 + 1)\), donc \(\overrightarrow{AB}(2\,;4)\), et \(\overrightarrow{AC}(4 - 1\,;\,5 + 1)\), donc \(\overrightarrow{AC}(3\,;6)\).

\[2 \times 6 - 3 \times 4 = 12 - 12 = 0\]

Les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires, donc les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés.

2) On a \(\overrightarrow{AD}(0 - 1\,;\,-2 + 1)\), donc \(\overrightarrow{AD}(-1\,;-1)\).

\[\begin{aligned} 2 \times (-1) - (-1) \times 4 &= -2 + 4 \\ &= 2 \end{aligned}\]

Ce nombre n’est pas nul : les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AD}\) ne sont pas colinéaires, donc les points \(A\), \(B\) et \(D\) ne sont pas alignés.

Application 6 (synthèse)

Le plan est muni d’un repère orthonormé. On considère les points \(A(-2\,;1)\) et \(B(1\,;3)\), et le point \(C\) tel que \(\overrightarrow{AC}(5\,;-1)\).

1) Déterminer les coordonnées du point \(C\).

2) Déterminer les coordonnées du milieu \(I\) de \([AB]\) et du milieu \(J\) de \([AC]\).

3) Montrer que les droites \((IJ)\) et \((BC)\) sont parallèles.

4) Calculer les distances \(BC\) et \(IJ\), puis les comparer.

5) Les points \(A\), \(B\) et \(D(4\,;5)\) sont-ils alignés ?

Correction de l’application 6

1) On note \(C(x\,;y)\). On a \(\overrightarrow{AC}(x + 2\,;\,y - 1)\), donc :

\[x + 2 = 5 \quad \text{et} \quad y - 1 = -1\]

c’est-à-dire \(x = 3\) et \(y = 0\). Donc \(C(3\,;0)\).

2) • Milieu de \([AB]\) :

\[\begin{aligned} x_I &= \dfrac{-2 + 1}{2} = -\dfrac{1}{2} \\[2mm] y_I &= \dfrac{1 + 3}{2} = 2 \end{aligned}\]

Donc \(I\left(-\dfrac{1}{2}\,;2\right)\).

• Milieu de \([AC]\) :

\[\begin{aligned} x_J &= \dfrac{-2 + 3}{2} = \dfrac{1}{2} \\[2mm] y_J &= \dfrac{1 + 0}{2} = \dfrac{1}{2} \end{aligned}\]

Donc \(J\left(\dfrac{1}{2}\,;\dfrac{1}{2}\right)\).

3) On a \(\overrightarrow{IJ}\left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{1}{2} - 2\right)\), donc \(\overrightarrow{IJ}\left(1\,;-\dfrac{3}{2}\right)\), et \(\overrightarrow{BC}(3 - 1\,;\,0 - 3)\), donc \(\overrightarrow{BC}(2\,;-3)\).

\[\begin{aligned} 1 \times (-3) - 2 \times \left(-\dfrac{3}{2}\right) &= -3 + 3 \\ &= 0 \end{aligned}\]

Les vecteurs \(\overrightarrow{IJ}\) et \(\overrightarrow{BC}\) sont colinéaires, donc les droites \((IJ)\) et \((BC)\) sont parallèles.

4) Le repère est orthonormé :

\[BC = \sqrt{2^{2} + (-3)^{2}} = \sqrt{13}\] \[\begin{aligned} IJ &= \sqrt{1^{2} + \left(-\dfrac{3}{2}\right)^{2}} \\[2mm] &= \sqrt{\dfrac{13}{4}} = \dfrac{\sqrt{13}}{2} \end{aligned}\]

Donc \(IJ = \dfrac{BC}{2}\) : on retrouve le théorème de la droite des milieux.

5) On a \(\overrightarrow{AB}(3\,;2)\) et \(\overrightarrow{AD}(4 + 2\,;\,5 - 1)\), donc \(\overrightarrow{AD}(6\,;4)\).

\[3 \times 4 - 6 \times 2 = 12 - 12 = 0\]

Les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AD}\) sont colinéaires, donc les points \(A\), \(B\) et \(D\) sont alignés.