La droite dans le plan

Dans toute cette leçon, le plan est muni d’un repère orthonormé \((O\,;\vec{i}\,,\vec{j})\).

I. Équation cartésienne d’une droite

Activité 1

On considère les points \(A(1\,;2)\) et \(B(4\,;4)\), et un point quelconque \(M(x\,;y)\) du plan.

1) Déterminer les coordonnées des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AM}\).

2) On rappelle que \(M\) appartient à la droite \((AB)\) si et seulement si les vecteurs \(\overrightarrow{AM}\) et \(\overrightarrow{AB}\) sont colinéaires. Montrer que \(M\) appartient à \((AB)\) si et seulement si \(2x - 3y + 4 = 0\).

3) Les points \(C(7\,;6)\) et \(D(0\,;1)\) appartiennent-ils à la droite \((AB)\) ?

Définition

Toute droite \((D)\) du plan est l’ensemble des points \(M(x\,;y)\) qui vérifient une égalité de la forme :

\[ax + by + c = 0\]

où \(a\), \(b\) et \(c\) sont des nombres réels tels que \(a\) et \(b\) ne sont pas tous les deux nuls.

Cette égalité s’appelle une équation cartésienne de la droite \((D)\).

Propriété

Un point \(M(x_0\,;y_0)\) appartient à la droite \((D) : ax + by + c = 0\) si et seulement si ses coordonnées vérifient l’équation, c’est-à-dire :

\[ax_0 + by_0 + c = 0\]

Méthode

Pour déterminer une équation cartésienne de la droite \((AB)\) :

• on calcule les coordonnées des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AM}\), où \(M(x\,;y)\) est un point quelconque ;

• on écrit que ces deux vecteurs sont colinéaires (condition \(xy' - x'y = 0\)) ;

• on développe et on réduit l’égalité obtenue.

Exemple

Soient \(A(0\,;1)\) et \(B(2\,;5)\). On a \(\overrightarrow{AB}(2\,;4)\) et \(\overrightarrow{AM}(x\,;\,y - 1)\).

Une équation cartésienne de \((AB)\) est \(2x - y + 1 = 0\).

Remarques

• Une droite a plusieurs équations cartésiennes : en multipliant les deux membres par un même nombre non nul, on obtient une autre équation de la même droite.

• Une droite parallèle à l’axe des ordonnées a une équation de la forme \(x = k\) ; une droite parallèle à l’axe des abscisses a une équation de la forme \(y = k\).

Application 1

Déterminer une équation cartésienne de la droite \((AB)\) dans chacun des cas suivants :

1) \(A(1\,;2)\) et \(B(3\,;5)\).

2) \(A(-2\,;3)\) et \(B(2\,;-1)\).

3) \(A(3\,;1)\) et \(B(3\,;-4)\).

II. Équation réduite d’une droite

Activité 2

On considère la droite \((D)\) d’équation cartésienne \(3x - 2y + 4 = 0\).

1) Exprimer \(y\) en fonction de \(x\).

2) Calculer \(y\) pour \(x = 0\), puis pour \(x = 2\). En déduire deux points de la droite \((D)\) et la tracer.

3) Lorsque \(x\) augmente de \(2\), de combien augmente \(y\) ?

Définition

Toute droite \((D)\) non parallèle à l’axe des ordonnées a une équation de la forme :

\[y = mx + p\]

où \(m\) et \(p\) sont deux nombres réels. Cette équation s’appelle l’équation réduite de \((D)\).

• Le nombre \(m\) est le coefficient directeur (ou la pente) de la droite \((D)\).

• Le nombre \(p\) est l’ordonnée à l’origine : la droite \((D)\) coupe l’axe des ordonnées au point de coordonnées \((0\,;p)\).

Propriété

Si \(A(x_A\,;y_A)\) et \(B(x_B\,;y_B)\) sont deux points d’une droite \((D)\) avec \(x_A \neq x_B\), alors le coefficient directeur de \((D)\) est :

\[m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\]

Exemple

La droite \((D) : y = 2x + 3\) a pour coefficient directeur \(m = 2\) et pour ordonnée à l’origine \(p = 3\). Elle passe par les points de coordonnées \((0\,;3)\) et \((1\,;5)\).

Application 2

1) Déterminer l’équation réduite de chacune des droites suivantes, puis préciser son coefficient directeur et son ordonnée à l’origine :

\((D_1) : 2x + 4y - 8 = 0\) ; \((D_2) : x - 3y - 6 = 0\)

2) Déterminer l’équation réduite de la droite \((D_3)\) passant par \(A(1\,;3)\) et de coefficient directeur \(2\).

3) Déterminer l’équation réduite de la droite \((EF)\), avec \(E(1\,;-1)\) et \(F(3\,;5)\).

III. Positions relatives de deux droites

Propriété

Soient \((D) : y = mx + p\) et \((D') : y = m'x + p'\) deux droites.

• \((D)\) et \((D')\) sont parallèles si et seulement si \(m = m'\).

• \((D)\) et \((D')\) sont sécantes si et seulement si \(m \neq m'\).

• \((D)\) et \((D')\) sont perpendiculaires si et seulement si \(m \times m' = -1\).

Remarques

• Si \(m = m'\) et \(p = p'\), les deux droites sont confondues.

• Deux droites perpendiculaires sont sécantes : c’est un cas particulier.

• Pour trouver le point d’intersection de deux droites sécantes, on résout l’équation \(mx + p = m'x + p'\).

Exemples

• \((D) : y = 4x - 1\) et \((D') : y = 4x + 6\) ont le même coefficient directeur \(4\) : elles sont parallèles.

• \((D) : y = 5x + 2\) et \((D') : y = -\dfrac{1}{5}x\) vérifient \(5 \times \left(-\dfrac{1}{5}\right) = -1\) : elles sont perpendiculaires.

Application 3

Étudier la position relative des droites \((D_1)\) et \((D_2)\) dans chacun des cas suivants :

1) \((D_1) : y = 3x + 1\) et \((D_2) : y = 3x - 4\).

2) \((D_1) : y = \dfrac{1}{2}x + 3\) et \((D_2) : y = -2x + 1\).

3) \((D_1) : y = 2x - 1\) et \((D_2) : y = -x + 5\). Dans ce cas, déterminer les coordonnées du point d’intersection \(I\) des deux droites.

IV. Régionnement du plan

Activité 3

On considère la droite \((D)\) d’équation \(x + 2y - 4 = 0\).

1) Vérifier que les points \(E(4\,;0)\) et \(F(0\,;2)\) appartiennent à \((D)\), puis tracer \((D)\).

2) Pour chacun des points \(O(0\,;0)\), \(A(3\,;2)\), \(B(1\,;1)\) et \(C(4\,;3)\), calculer le nombre \(x + 2y - 4\) et donner son signe.

3) Placer ces quatre points. Que remarque-t-on pour les points qui donnent le même signe ?

Propriété

Une droite \((D) : ax + by + c = 0\) partage le plan en deux demi-plans de frontière \((D)\) :

• l’un est l’ensemble des points \(M(x\,;y)\) tels que \(ax + by + c > 0\) ;

• l’autre est l’ensemble des points \(M(x\,;y)\) tels que \(ax + by + c < 0\).

Méthode

Pour résoudre graphiquement une inéquation comme \(ax + by + c > 0\) :

• on trace la droite \((D) : ax + by + c = 0\) ;

• on choisit un point qui n’est pas sur \((D)\), souvent l’origine \(O\), et on calcule \(ax + by + c\) pour ce point ;

• si l’inégalité est vérifiée, les solutions sont les points du demi-plan qui contient ce point ; sinon, ce sont les points de l’autre demi-plan.

Exemple

Résolvons graphiquement l’inéquation \(x - y + 1 > 0\). La droite \((D) : x - y + 1 = 0\) passe par les points de coordonnées \((0\,;1)\) et \((-1\,;0)\).

Pour l’origine \(O(0\,;0)\), on trouve \(0 - 0 + 1 = 1\), qui est strictement positif. Les solutions sont donc les points du demi-plan de frontière \((D)\) qui contient \(O\) (en bleu clair sur la figure), la droite \((D)\) étant exclue.

Application 4 (synthèse)

On considère les points \(A(0\,;3)\), \(B(2\,;-1)\) et \(C(3\,;2)\).

1) Déterminer une équation cartésienne de la droite \((AB)\).

2) En déduire l’équation réduite de \((AB)\) et son coefficient directeur.

3) Soit \((\Delta)\) la droite passant par \(C\) et de coefficient directeur \(\dfrac{1}{2}\). Déterminer l’équation réduite de \((\Delta)\).

4) Montrer que les droites \((AB)\) et \((\Delta)\) sont perpendiculaires.

5) Déterminer les coordonnées du point d’intersection \(H\) des droites \((AB)\) et \((\Delta)\).

6) Résoudre graphiquement l’inéquation \(2x + y - 3 > 0\).