Raisonnement par récurrence : divisibilité par 7 et inégalités

1) Divisibilité par \(7\)

• Initialisation. Pour \(n = 0\) : \(3^{1} + 2^{2} = 7\), qui est divisible par \(7\).

• Hérédité. Soit \(n \in \mathbb{N}\). Supposons qu’il existe un entier \(k\) tel que :

\[3^{2n+1} + 2^{n+2} = 7k\]

c’est-à-dire \(3^{2n+1} = 7k - 2^{n+2}\). Alors :

\[\begin{aligned} &3^{2(n+1)+1} + 2^{(n+1)+2} \\ &= 3^{2} \times 3^{2n+1} + 2 \times 2^{n+2} \\ &= 9(7k - 2^{n+2}) + 2 \times 2^{n+2} \\ &= 63k - 7 \times 2^{n+2} \\ &= 7(9k - 2^{n+2}) \end{aligned}\]

Comme \(9k - 2^{n+2}\) est un entier, le nombre \(3^{2(n+1)+1} + 2^{(n+1)+2}\) est divisible par \(7\).

• Conclusion. Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(3^{2n+1} + 2^{n+2}\) est divisible par \(7\).

2) \(2^{n} \geq n^{2}\) pour \(n \geq 4\)

• Initialisation. Pour \(n = 4\) : \(2^{4} = 16\) et \(4^{2} = 16\), donc \(2^{4} \geq 4^{2}\).

• Hérédité. Soit \(n \geq 4\). Supposons que \(2^{n} \geq n^{2}\). Alors :

\[2^{n+1} = 2 \times 2^{n} \geq 2n^{2}\]

Il suffit donc de montrer que \(2n^{2} \geq (n + 1)^{2}\). Or :

\[\begin{aligned} 2n^{2} - (n + 1)^{2} &= n^{2} - 2n - 1 \\ &= (n - 1)^{2} - 2 \end{aligned}\]

Comme \(n \geq 4\), on a \(n - 1 \geq 3\), donc \((n - 1)^{2} \geq 9\) et \((n - 1)^{2} - 2 > 0\). Ainsi \(2n^{2} \geq (n + 1)^{2}\), et par suite :

\[2^{n+1} \geq (n + 1)^{2}\]

• Conclusion. Pour tout entier \(n \geq 4\), \(2^{n} \geq n^{2}\).

3) Une somme majorée

On pose, pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\) :

\[S_n = 1 + \dfrac{1}{2^{2}} + \cdots + \dfrac{1}{n^{2}}\]

• Initialisation. Pour \(n = 1\) : \(S_1 = 1\) et \(2 - \dfrac{1}{1} = 1\), donc \(S_1 \leq 2 - \dfrac{1}{1}\).

• Hérédité. Soit \(n \in \mathbb{N}^{*}\). Supposons que \(S_n \leq 2 - \dfrac{1}{n}\). Alors :

\[\begin{aligned} S_{n+1} &= S_n + \dfrac{1}{(n + 1)^{2}} \\ &\leq 2 - \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{(n + 1)^{2}} \end{aligned}\]

Il suffit donc de montrer que ce dernier nombre est inférieur ou égal à \(2 - \dfrac{1}{n + 1}\). Par équivalences successives :

\[\begin{aligned} &2 - \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{(n + 1)^{2}} \leq 2 - \dfrac{1}{n + 1} \\ &\iff \dfrac{1}{(n + 1)^{2}} \leq \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n + 1} \\ &\iff \dfrac{1}{(n + 1)^{2}} \leq \dfrac{1}{n(n + 1)} \\ &\iff n(n + 1) \leq (n + 1)^{2} \\ &\iff n \leq n + 1 \end{aligned}\]

La dernière inégalité est vraie, donc la première aussi. D’où \(S_{n+1} \leq 2 - \dfrac{1}{n + 1}\).

• Conclusion. Pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\) : \(1 + \dfrac{1}{2^{2}} + \cdots + \dfrac{1}{n^{2}} \leq 2 - \dfrac{1}{n}\).