Raisonnement par disjonction des cas : valeur absolue et divisibilité

Méthode : on sépare l’étude en plusieurs cas qui recouvrent toutes les possibilités, et on montre le résultat dans chaque cas.

1) \(|x - 1| \leq x^{2} - x + 1\)

• Premier cas : \(x \geq 1\). Alors \(|x - 1| = x - 1\) et :

\[\begin{aligned} &(x^{2} - x + 1) - (x - 1) \\ &= x^{2} - 2x + 2 \\ &= (x - 1)^{2} + 1 > 0 \end{aligned}\]

Donc \(|x - 1| \leq x^{2} - x + 1\).

• Deuxième cas : \(x < 1\). Alors \(|x - 1| = 1 - x\) et :

\[\begin{aligned} &(x^{2} - x + 1) - (1 - x) \\ &= x^{2} \geq 0 \end{aligned}\]

Donc \(|x - 1| \leq x^{2} - x + 1\).

L’inégalité est vraie dans les deux cas, donc pour tout réel \(x\).

2) \(\sqrt{x^{2} + 1} + x > 0\)

• Premier cas : \(x \geq 0\). On a \(\sqrt{x^{2} + 1} > 0\) et \(x \geq 0\), donc la somme est strictement positive.

• Deuxième cas : \(x < 0\). On a \(x^{2} + 1 > x^{2}\), donc :

\[\sqrt{x^{2} + 1} > \sqrt{x^{2}} = |x| = -x\]

D’où \(\sqrt{x^{2} + 1} + x > 0\).

L’inégalité est vraie dans les deux cas, donc pour tout réel \(x\).

3) \(N\) est un multiple de \(6\)

• \(N\) est pair.

• Si \(n\) est pair, alors \(N\) est pair, car \(n\) est un facteur de \(N\).
• Si \(n\) est impair, \(n = 2k + 1\), alors \(7n + 1 = 14k + 8 = 2(7k + 4)\) est pair, donc \(N\) est pair.

• \(N\) est un multiple de \(3\).

• Si \(n = 3k\), alors \(n\) est un multiple de \(3\).
• Si \(n = 3k + 1\), alors \(2n + 1 = 6k + 3 = 3(2k + 1)\).
• Si \(n = 3k + 2\), alors \(7n + 1 = 21k + 15 = 3(7k + 5)\).

Dans chaque cas, l’un des facteurs de \(N\) est un multiple de \(3\), donc \(N\) est un multiple de \(3\).

• Conclusion. \(N\) est pair : \(N = 2p\) avec \(p \in \mathbb{N}\). Les nombres \(2p\) et \(3p\) sont des multiples de \(3\), donc leur différence \(p = 3p - 2p\) est un multiple de \(3\) : \(p = 3q\) avec \(q \in \mathbb{N}\). D’où :

\[N = 2 \times 3q = 6q\]

Donc \(N\) est un multiple de \(6\).