Raisonnement par l’absurde : irrationalité et équation sans solution
Difficile1) On rappelle que \(\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}\).
a) Vérifier que \((\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 1\).
b) Montrer par l’absurde que \(\sqrt{2} + \sqrt{3} \notin \mathbb{Q}\).
2) Montrer par l’absurde que, pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\) :
\[\sqrt{n^{2} + 1} \notin \mathbb{N}\]3) Montrer par l’absurde qu’il n’existe aucun couple \((x\,;y)\) d’entiers naturels tel que :
\[x^{2} - y^{2} = 2\]Afficher la correctionMasquer la correction
Méthode : pour montrer par l’absurde qu’une proposition \(P\) est vraie, on suppose que \(P\) est fausse et on aboutit à une contradiction.
1) a) Calcul du produit
\[\begin{aligned} &(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2}) \\ &= (\sqrt{3})^{2} - (\sqrt{2})^{2} \\ &= 3 - 2 = 1 \end{aligned}\]b) \(\sqrt{2} + \sqrt{3} \notin \mathbb{Q}\)
Supposons que le nombre \(r = \sqrt{2} + \sqrt{3}\) soit rationnel. On a \(r \neq 0\) et, d’après a) :
\[\sqrt{3} - \sqrt{2} = \dfrac{1}{r}\]Donc \(\sqrt{3} - \sqrt{2}\) est rationnel (inverse d’un rationnel non nul). Par différence :
\[\begin{aligned} &r - \dfrac{1}{r} \\ &= (\sqrt{3} + \sqrt{2}) - (\sqrt{3} - \sqrt{2}) \\ &= 2\sqrt{2} \end{aligned}\]D’où \(\sqrt{2} = \dfrac{1}{2}\left(r - \dfrac{1}{r}\right)\), qui est rationnel (différence et produit de rationnels). C’est absurde, car \(\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}\).
Donc \(\sqrt{2} + \sqrt{3} \notin \mathbb{Q}\).
2) \(\sqrt{n^{2} + 1} \notin \mathbb{N}\)
Supposons qu’il existe \(n \in \mathbb{N}^{*}\) et \(m \in \mathbb{N}\) tels que \(\sqrt{n^{2} + 1} = m\). Alors \(m^{2} = n^{2} + 1\).
Comme \(n > 0\), on a \(2n > 0\), donc :
\[n^{2} < n^{2} + 1 < n^{2} + 2n + 1\]c’est-à-dire \(n^{2} < m^{2} < (n + 1)^{2}\). Les nombres \(n\), \(m\) et \(n + 1\) étant positifs, on en déduit :
\[n < m < n + 1\]C’est absurde : il n’existe aucun entier strictement compris entre deux entiers consécutifs. Donc, pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\), \(\sqrt{n^{2} + 1} \notin \mathbb{N}\).
3) L’équation \(x^{2} - y^{2} = 2\)
Supposons qu’il existe deux entiers naturels \(x\) et \(y\) tels que \(x^{2} - y^{2} = 2\). Alors :
\[(x - y)(x + y) = 2\]Comme \(x + y \geq 0\) et que le produit vaut \(2 > 0\), les nombres \(x - y\) et \(x + y\) sont deux entiers naturels non nuls, avec \(x - y \leq x + y\). Les seuls diviseurs de \(2\) étant \(1\) et \(2\), on a nécessairement :
\[x - y = 1 \quad\text{et}\quad x + y = 2\]En ajoutant ces deux égalités, on obtient \(2x = 3\), donc \(x = \dfrac{3}{2}\), ce qui est absurde car \(x\) est un entier.
Donc il n’existe aucun couple \((x\,;y)\) d’entiers naturels tel que \(x^{2} - y^{2} = 2\).