Raisonnement par contraposée : trois implications
Difficile1) Soient \(x\) et \(y\) deux réels. Montrer que :
\[\begin{aligned} &\left(x \neq y \ \text{et}\ xy \neq 1\right) \\ &\Rightarrow \dfrac{x}{x^{2} + 1} \neq \dfrac{y}{y^{2} + 1} \end{aligned}\]2) Soit \(n\) un entier naturel. Montrer que : si \(n^{2} - 1\) n’est pas divisible par \(8\), alors \(n\) est pair.
3) Soit \(a\) un réel. Montrer que :
\[\left[(\forall \varepsilon > 0) : |a| \leq \varepsilon\right] \Rightarrow a = 0\]Afficher la correctionMasquer la correction
Rappel : l’implication \((A \Rightarrow B)\) est équivalente à sa contraposée \((\text{non } B \Rightarrow \text{non } A)\).
1) Première implication
La négation de \((x \neq y \text{ et } xy \neq 1)\) est \((x = y \text{ ou } xy = 1)\). Il suffit donc de montrer la contraposée :
\[\begin{aligned} &\dfrac{x}{x^{2} + 1} = \dfrac{y}{y^{2} + 1} \\ &\Rightarrow \left(x = y \ \text{ou}\ xy = 1\right) \end{aligned}\]Supposons que \(\dfrac{x}{x^{2} + 1} = \dfrac{y}{y^{2} + 1}\). Comme \(x^{2} + 1 \neq 0\) et \(y^{2} + 1 \neq 0\), on obtient :
\[\begin{aligned} x(y^{2} + 1) &= y(x^{2} + 1) \\ xy^{2} + x - x^{2}y - y &= 0 \\ xy(y - x) - (y - x) &= 0 \\ (y - x)(xy - 1) &= 0 \end{aligned}\]Donc \(y - x = 0\) ou \(xy - 1 = 0\), c’est-à-dire \(x = y\) ou \(xy = 1\). La contraposée est vraie, donc l’implication demandée est vraie.
2) Deuxième implication
La contraposée est : si \(n\) est impair, alors \(n^{2} - 1\) est divisible par \(8\).
Supposons que \(n\) est impair : \(n = 2k + 1\) avec \(k \in \mathbb{N}\). Alors :
\[\begin{aligned} n^{2} - 1 &= (2k + 1)^{2} - 1 \\ &= 4k^{2} + 4k \\ &= 4k(k + 1) \end{aligned}\]Le produit \(k(k + 1)\) de deux entiers consécutifs est pair : \(k(k + 1) = 2m\) avec \(m \in \mathbb{N}\). Donc \(n^{2} - 1 = 8m\) est divisible par \(8\).
La contraposée est vraie, donc : si \(n^{2} - 1\) n’est pas divisible par \(8\), alors \(n\) est pair.
3) Troisième implication
La contraposée est :
\[a \neq 0 \Rightarrow \left[(\exists \varepsilon > 0) : |a| > \varepsilon\right]\]Supposons que \(a \neq 0\). Alors \(|a| > 0\). On choisit \(\varepsilon = \dfrac{|a|}{2}\) : on a bien \(\varepsilon > 0\) et
\[|a| > \dfrac{|a|}{2} = \varepsilon\]La contraposée est vraie, donc l’implication demandée est vraie.