Ordre des quantificateurs : valeur de vérité et négation

Rappel : pour nier une proposition quantifiée, on échange \(\forall\) et \(\exists\), puis on nie la propriété finale. La négation de \((A \Rightarrow B)\) est \((A \text{ et non } B)\).

1) Proposition \(P_1\)

Négation :

\[(\exists x \in \mathbb{R})(\forall y \in \mathbb{R}) : x + y \leq 0\]

Soit \(x\) un réel quelconque. On choisit \(y = 1 - x\) ; alors \(x + y = 1 > 0\). Donc \(P_1\) est vraie.

2) Proposition \(P_2\)

Négation :

\[(\forall y \in \mathbb{R})(\exists x \in \mathbb{R}) : x + y \leq 0\]

Montrons que cette négation est vraie. Soit \(y\) un réel quelconque. On choisit \(x = -y\) ; alors \(x + y = 0 \leq 0\). La négation de \(P_2\) est vraie, donc \(P_2\) est fausse.

Remarque : \(P_1\) et \(P_2\) ne diffèrent que par l’ordre des quantificateurs. Dans \(P_1\), le réel \(y\) peut dépendre de \(x\) ; dans \(P_2\), le même \(y\) devrait convenir pour tous les \(x\).

3) Proposition \(P_3\)

Négation :

\[(\exists x \in \mathbb{R})(\forall y \in \mathbb{R}) : y^{2} \neq x\]

On choisit \(x = -1\). Pour tout réel \(y\), on a \(y^{2} \geq 0\), donc \(y^{2} \neq -1\). La négation de \(P_3\) est vraie, donc \(P_3\) est fausse.

4) Proposition \(P_4\)

Négation :

\[(\exists x \in \mathbb{R}) : \left(x^{2} \geq 4 \ \text{et}\ x < 2\right)\]

On choisit \(x = -3\) : on a \(x^{2} = 9 \geq 4\) et \(x < 2\). La négation de \(P_4\) est vraie, donc \(P_4\) est fausse.

5) Proposition \(P_5\)

Négation :

\[\begin{aligned} &(\exists \varepsilon > 0)(\forall \alpha > 0)(\exists x \in \mathbb{R}) : \\ &|x - 1| < \alpha \ \text{et}\ |2x - 2| \geq \varepsilon \end{aligned}\]

Montrons que \(P_5\) est vraie. Soit \(\varepsilon > 0\). On choisit \(\alpha = \dfrac{\varepsilon}{2}\), qui est strictement positif. Soit \(x\) un réel tel que \(|x - 1| < \alpha\). Alors :

\[|2x - 2| = 2|x - 1| < 2\alpha = \varepsilon\]

Donc \(P_5\) est vraie.