Statistiques

I. Vocabulaire des statistiques

1. Population et caractère statistique

Définitions

• La population statistique est l’ensemble sur lequel porte l’étude statistique. Chaque élément de cet ensemble est appelé individu ou unité statistique.

• Le caractère statistique (ou variable statistique) est la propriété étudiée sur les individus. Il en existe deux types :

– le caractère quantitatif, qui s’exprime par un nombre (exemples : la taille, le poids, l’âge, une note) ;

– le caractère qualitatif, qui ne s’exprime pas par un nombre (exemples : la langue parlée, la mention obtenue, la couleur des yeux).

2. Effectif et effectif cumulé

Définition

L’effectif d’une valeur \(x_i\) du caractère est le nombre de fois où cette valeur apparaît dans la série. On le note \(n_i\).

La somme de tous les effectifs est l’effectif total de la série. On le note \(N\).

Exemple 1

On considère la série de notes suivante : 8 – 9 – 10 – 8 – 11 – 10 – 10.

Note \(x_i\)	8	9	10	11
Effectif \(n_i\)	2	1	3	1

Définition

L’effectif cumulé croissant d’une valeur est la somme de son effectif et des effectifs de toutes les valeurs qui lui sont inférieures.

Exemple 2

Dans la série de l’exemple 1, l’effectif cumulé croissant de la valeur \(10\) est \(2 + 1 + 3 = 6\).

Note \(x_i\)	8	9	10	11
Effectif \(n_i\)	2	1	3	1
Effectif cumulé	2	3	6	7

Le dernier effectif cumulé est l’effectif total de la série :

\[\begin{aligned} N &= n_1 + n_2 + n_3 + n_4 \\ &= 2 + 1 + 3 + 1 = 7 \end{aligned}\]

3. Fréquence et pourcentage

Définitions

• La fréquence de la valeur \(x_i\) est le nombre réel noté \(f_i\) défini par :

\[f_i = \dfrac{n_i}{N}\]

• Le pourcentage de la valeur \(x_i\) est le nombre noté \(p_i\) défini par :

\[p_i = f_i \times 100\]

• La fréquence cumulée croissante d’une valeur est la somme de sa fréquence et des fréquences de toutes les valeurs qui lui sont inférieures.

Exemple 3

Dans la série de l’exemple 1, la fréquence de la note \(8\) est \(f_1 = \dfrac{2}{7} \approx 0{,}29\) ; son pourcentage est \(p_1 \approx 29\,\%\).

Exemple 4

Le tableau suivant donne la répartition de \(10\) matières suivant leur coefficient :

Coefficient \(x_i\)	1	2	3	5
Effectif \(n_i\)	3	2	2	3
Effectif cumulé	3	5	7	10
Fréquence \(f_i\)	0,3	0,2	0,2	0,3
Fréquence cumulée	0,3	0,5	0,7	1
Pourcentage \(p_i\)	30	20	20	30

Remarque

La somme des fréquences est égale à \(1\) et la somme des pourcentages est égale à \(100\). La dernière fréquence cumulée vaut donc \(1\).

4. Représentations graphiques

Une série statistique à caractère quantitatif peut être représentée par un diagramme en bâtons : au-dessus de chaque valeur \(x_i\), on trace un bâton dont la hauteur est l’effectif \(n_i\). En reliant les sommets des bâtons, on obtient le polygone statistique.

Voici le diagramme en bâtons (en bleu) et le polygone statistique (en rouge) de la série de l’exemple 4 :

Remarque : séries regroupées en classes

Lorsque les valeurs du caractère sont nombreuses, on les regroupe en classes, qui sont des intervalles de la forme \([a\,;b[\). Le centre de la classe \([a\,;b[\) est le nombre \(\dfrac{a + b}{2}\) : dans les calculs, c’est lui qui joue le rôle de la valeur \(x_i\). Une telle série se représente par un histogramme, formé de rectangles dont les bases sont les classes et dont les hauteurs sont les effectifs (lorsque les classes ont la même amplitude).

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II. Paramètres de position

1. Le mode

Définition

Le mode d’une série statistique est la valeur du caractère qui a le plus grand effectif. Pour une série regroupée en classes, la classe qui a le plus grand effectif est appelée classe modale.

Exemples

• Dans l’exemple 1, la valeur \(10\) a le plus grand effectif (\(3\)) : le mode est \(10\).

• Dans l’exemple 4, les valeurs \(1\) et \(5\) ont toutes les deux le plus grand effectif (\(3\)) : la série a deux modes, \(1\) et \(5\).

2. La médiane

Définition

La médiane d’une série statistique est la plus petite valeur du caractère dont l’effectif cumulé croissant est supérieur ou égal à la moitié de l’effectif total, c’est-à-dire à \(\dfrac{N}{2}\).

Exemples

• Dans l’exemple 2, la moitié de l’effectif total est \(\dfrac{7}{2} = 3{,}5\). La plus petite valeur dont l’effectif cumulé est supérieur ou égal à \(3{,}5\) est \(10\) (effectif cumulé \(6\)). La médiane est donc \(10\).

• Dans l’exemple 4, la moitié de l’effectif total est \(\dfrac{10}{2} = 5\). La plus petite valeur dont l’effectif cumulé est supérieur ou égal à \(5\) est \(2\). La médiane est donc \(2\).

3. La moyenne arithmétique

Définition

La moyenne arithmétique d’une série statistique de valeurs \(x_1, x_2, \ldots, x_p\) et d’effectifs \(n_1, n_2, \ldots, n_p\) est le nombre noté \(\bar{x}\) défini par :

\[\bar{x} = \dfrac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + \cdots + n_p x_p}{N}\]

où \(N\) est l’effectif total. On peut aussi la calculer avec les fréquences :

\[\bar{x} = f_1 x_1 + f_2 x_2 + \cdots + f_p x_p\]

Exemple

Pour la série de l’exemple 4 :

\[\begin{aligned} \bar{x} &= \dfrac{3 \times 1 + 2 \times 2 + 2 \times 3 + 3 \times 5}{10} \\ &= \dfrac{3 + 4 + 6 + 15}{10} = \dfrac{28}{10} = 2{,}8 \end{aligned}\]

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III. Paramètres de dispersion

Activité

Les tableaux suivants donnent les notes de \(20\) élèves en mathématiques et en français.

Mathématiques :

Note	8	9	10	11	12	13	14	15
Effectif	1	1	3	5	2	2	2	4

Français :

Note	2	5	7	8	10	11	12	14	15	16	17	18	19	20
Effectif	1	2	1	2	1	3	1	2	1	1	2	1	1	1

Déterminer le mode, la médiane et la moyenne arithmétique de chacune des deux séries. Que remarque-t-on ?

Constat. Les deux séries ont les mêmes paramètres de position (mode \(11\), médiane \(11\), moyenne \(12\)), et pourtant elles sont très différentes : les notes de mathématiques sont regroupées autour de \(12\), alors que celles de français sont très dispersées. Pour mesurer cette différence, on utilise des paramètres de dispersion.

1. L’écart moyen

Définition

Soit une série statistique de moyenne \(\bar{x}\) et d’effectif total \(N\). Pour chaque valeur \(x_i\), on note \(d_i = |x_i - \bar{x}|\) son écart à la moyenne.

L’écart moyen de la série est le nombre :

\[e = \dfrac{n_1 d_1 + n_2 d_2 + \cdots + n_p d_p}{N}\]

Exemple

Reprenons les notes de mathématiques de l’activité, de moyenne \(\bar{x} = 12\) :

Note \(x_i\)	8	9	10	11	12	13	14	15
Effectif \(n_i\)	1	1	3	5	2	2	2	4
Écart \(d_i\)	4	3	2	1	0	1	2	3

La somme des produits \(n_i d_i\) est \(4 + 3 + 6 + 5 + 0 + 2 + 4 + 12 = 36\). Donc :

\[e_M = \dfrac{36}{20} = 1{,}8\]

Pour les notes de français, le même calcul donne \(e_F = \dfrac{84}{20} = 4{,}2\). On a \(e_M < e_F\) : cela confirme que les notes de mathématiques sont moins dispersées.

2. La variance

Définition

Avec les mêmes notations, la variance de la série est le nombre réel positif, noté \(V\), défini par :

\[V = \dfrac{n_1 d_1^{2} + n_2 d_2^{2} + \cdots + n_p d_p^{2}}{N}\]

où \(d_i^{2} = (x_i - \bar{x})^{2}\).

3. L’écart-type

Définition

L’écart-type d’une série statistique est la racine carrée de sa variance. On le note \(\sigma\) (sigma) :

\[\sigma = \sqrt{V}\]

Exemple

Pour les notes de mathématiques, la somme des produits \(n_i d_i^{2}\) est \(16 + 9 + 12 + 5 + 0 + 2 + 8 + 36 = 88\). Donc :

\[V_M = \dfrac{88}{20} = 4{,}4\] \[\sigma_M = \sqrt{4{,}4} \approx 2{,}1\]

Pour les notes de français, on trouve \(V_F = \dfrac{494}{20} = 24{,}7\) et \(\sigma_F \approx 4{,}97\). Plus l’écart-type est grand, plus la série est dispersée autour de sa moyenne.

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Application 1

Une enquête a porté sur le nombre de livres lus pendant un semestre par les \(40\) élèves d’une classe. Les résultats sont les suivants :

Livres lus \(x_i\)	0	1	2	3	4	5	6
Effectif \(n_i\)	3	4	8	10	8	4	3
Effectif cumulé	…	…	…	…	…	…	…

1) Recopier et compléter le tableau.

2) Déterminer le nombre et le pourcentage d’élèves ayant lu plus de \(3\) livres.

3) Calculer les paramètres de position : mode, moyenne arithmétique et médiane.

4) Calculer les paramètres de dispersion : écart moyen, variance et écart-type.

5) Représenter le diagramme en bâtons et le polygone statistique.

Application 2

Voici les notes obtenues par \(20\) élèves du Tronc Commun Scientifique lors d’un contrôle :

12 – 8 – 15 – 3 – 10 – 9 – 13 – 17 – 6 – 14 – 11 – 8 – 19 – 4 – 12 – 9 – 16 – 13 – 7 – 14

1) Regrouper ces notes en classes en complétant le tableau suivant :

Classe	\([0\,;5[\)	\([5\,;10[\)	\([10\,;15[\)	\([15\,;20[\)
Effectif \(n_i\)	…	…	…	…
Effectif cumulé	…	…	…	…

2) Déterminer la classe modale.

3) Calculer la moyenne arithmétique de cette série.

4) Calculer les paramètres de dispersion : écart moyen, variance et écart-type.

5) Représenter l’histogramme des effectifs et le polygone statistique.