Inégalités : équivalences successives et déduction
Difficile1) Soient \(x\) et \(y\) deux réels. Montrer que :
\[x^{2} + y^{2} + 1 \geq xy + x + y\]Dans quel cas a-t-on l’égalité ?
2) Soient \(a\) et \(b\) deux réels strictement positifs.
a) Montrer que \(\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \geq 2\).
b) En déduire que \((a + b)\left(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}\right) \geq 4\).
3) Soient \(x\) et \(y\) deux réels tels que \(|x| < 1\) et \(|y| < 1\).
a) Montrer que \(1 + xy > 0\).
b) Montrer que :
\[\begin{aligned} &(1 + xy)^{2} - (x + y)^{2} \\ &= (1 - x^{2})(1 - y^{2}) \end{aligned}\]c) En déduire que \(\left|\dfrac{x + y}{1 + xy}\right| < 1\).
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1) \(x^{2} + y^{2} + 1 \geq xy + x + y\)
On note \(D\) la différence des deux membres : \(D = (x^{2} + y^{2} + 1) - (xy + x + y)\). On regroupe les termes de \(2D\) :
\[\begin{aligned} 2D = \ &(x^{2} - 2xy + y^{2}) \\ &+ (x^{2} - 2x + 1) \\ &+ (y^{2} - 2y + 1) \end{aligned}\]c’est-à-dire :
\[\begin{aligned} 2D = \ &(x - y)^{2} + (x - 1)^{2} \\ &+ (y - 1)^{2} \end{aligned}\]Une somme de carrés est positive ou nulle, donc \(2D \geq 0\), puis \(D \geq 0\), c’est-à-dire :
\[x^{2} + y^{2} + 1 \geq xy + x + y\]Cas d’égalité. Une somme de carrés est nulle si et seulement si chacun des carrés est nul. Il y a donc égalité si et seulement si \(x - y = 0\), \(x - 1 = 0\) et \(y - 1 = 0\), c’est-à-dire :
\[x = y = 1\]2) a) \(\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \geq 2\)
Comme \(ab > 0\), on a les équivalences :
\[\begin{aligned} &\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \geq 2 \\ &\iff \dfrac{a^{2} + b^{2}}{ab} \geq 2 \\ &\iff a^{2} + b^{2} \geq 2ab \\ &\iff a^{2} - 2ab + b^{2} \geq 0 \\ &\iff (a - b)^{2} \geq 0 \end{aligned}\]La dernière inégalité est vraie, donc \(\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \geq 2\).
b) \((a + b)\left(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}\right) \geq 4\)
On développe :
\[\begin{aligned} &(a + b)\left(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}\right) \\ &= 1 + \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} + 1 \\ &= 2 + \left(\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a}\right) \end{aligned}\]D’après a), \(\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \geq 2\), donc :
\[(a + b)\left(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}\right) \geq 4\]3) a) \(1 + xy > 0\)
On a \(|xy| = |x| \times |y| < 1\), donc \(-1 < xy < 1\). En particulier \(xy > -1\), d’où \(1 + xy > 0\).
b) Une identité
\[\begin{aligned} &(1 + xy)^{2} - (x + y)^{2} \\ &= (1 + 2xy + x^{2}y^{2}) \\ &\quad - (x^{2} + 2xy + y^{2}) \\ &= 1 - x^{2} - y^{2} + x^{2}y^{2} \\ &= (1 - x^{2}) - y^{2}(1 - x^{2}) \\ &= (1 - x^{2})(1 - y^{2}) \end{aligned}\]c) \(\left|\dfrac{x + y}{1 + xy}\right| < 1\)
Comme \(|x| < 1\), on a \(x^{2} < 1\), donc \(1 - x^{2} > 0\). De même \(1 - y^{2} > 0\). D’après b) :
\[(1 + xy)^{2} - (x + y)^{2} > 0\]c’est-à-dire \((x + y)^{2} < (1 + xy)^{2}\). En prenant la racine carrée des deux membres :
\[|x + y| < |1 + xy|\]Or \(1 + xy > 0\) d’après a), donc \(|1 + xy| = 1 + xy\). En divisant par \(1 + xy\), qui est strictement positif, on obtient :
\[\left|\dfrac{x + y}{1 + xy}\right| < 1\]