Calcul trigonométrique (partie 2)

Cette leçon est la suite de « Calcul trigonométrique (partie 1) ». Le plan est muni d’un repère orthonormé direct \((O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ})\) et \((C)\) désigne le cercle trigonométrique. Dans toute la leçon, \(k\) désigne un entier relatif.

I. Équations trigonométriques

1. Équations \(\cos x = a\) et \(\sin x = a\)

Propriété : équation \(\cos x = a\)

Soit \(a\) un nombre réel.

• Si \(a < -1\) ou \(a > 1\), l’équation \(\cos x = a\) n’a pas de solution dans \(\mathbb{R}\).

• Si \(-1 \leq a \leq 1\), il existe un réel \(\alpha\) tel que \(\cos\alpha = a\). L’équation s’écrit \(\cos x = \cos\alpha\) et ses solutions sont :

\[\begin{aligned} &x = \alpha + 2k\pi \\ &\text{ou}\quad x = -\alpha + 2k\pi \end{aligned}\]

Propriété : équation \(\sin x = a\)

Soit \(a\) un nombre réel.

• Si \(a < -1\) ou \(a > 1\), l’équation \(\sin x = a\) n’a pas de solution dans \(\mathbb{R}\).

• Si \(-1 \leq a \leq 1\), il existe un réel \(\alpha\) tel que \(\sin\alpha = a\). L’équation s’écrit \(\sin x = \sin\alpha\) et ses solutions sont :

\[\begin{aligned} &x = \alpha + 2k\pi \\ &\text{ou}\quad x = \pi - \alpha + 2k\pi \end{aligned}\]

Exemples

• Résolvons dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(\cos x = \dfrac{1}{2}\). On a \(\dfrac{1}{2} \in [-1\,;1]\) et \(\dfrac{1}{2} = \cos\dfrac{\pi}{3}\). L’équation s’écrit \(\cos x = \cos\dfrac{\pi}{3}\), donc \(x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi\) ou \(x = -\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi\).

• Résolvons dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(\sin x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\). On a \(\dfrac{\sqrt{2}}{2} \in [-1\,;1]\) et \(\dfrac{\sqrt{2}}{2} = \sin\dfrac{\pi}{4}\). L’équation s’écrit \(\sin x = \sin\dfrac{\pi}{4}\), donc \(x = \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi\) ou \(x = \pi - \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi = \dfrac{3\pi}{4} + 2k\pi\).

Cas particuliers

• \(\cos x = 0 \iff x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi\)

• \(\cos x = 1 \iff x = 2k\pi\)

• \(\cos x = -1 \iff x = \pi + 2k\pi\)

• \(\sin x = 0 \iff x = k\pi\)

• \(\sin x = 1 \iff x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi\)

• \(\sin x = -1 \iff x = -\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi\)

Remarque

Pour résoudre une équation trigonométrique dans un intervalle donné, on la résout d’abord dans \(\mathbb{R}\), puis on encadre les solutions pour trouver les valeurs possibles de l’entier \(k\).

Application 1

Résoudre dans \(\mathbb{R}\), puis dans l’intervalle \(]-\pi\,;\pi]\), les équations suivantes :

a) \(\cos x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

b) \(\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

c) \(2\sin^{2} x - \sin x = 0\)

2. Équation \(\tan x = a\)

Propriété

Soit \(a\) un nombre réel. Il existe un unique réel \(\alpha\) de l’intervalle \(\left]-\dfrac{\pi}{2}\,;\dfrac{\pi}{2}\right[\) tel que \(\tan\alpha = a\). L’équation \(\tan x = a\) s’écrit \(\tan x = \tan\alpha\) et ses solutions sont :

\[x = \alpha + k\pi\]

Donc \(S = \{\alpha + k\pi \ / \ k \in \mathbb{Z}\}\).

Exemple

Résolvons dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(\tan x = 1\). On a \(\tan\dfrac{\pi}{4} = 1\), donc l’équation s’écrit \(\tan x = \tan\dfrac{\pi}{4}\). Par conséquent \(x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi\) :

Application 2

Résoudre dans l’intervalle \(I\) les équations suivantes :

1) \(\tan x = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\), avec \(I = \mathbb{R}\).

2) \(\tan^{2} x - 3 = 0\), avec \(I = \left]-\dfrac{\pi}{2}\,;\dfrac{\pi}{2}\right[\).

3) \(\tan\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) = 1\), avec \(I = \,]-\pi\,;\pi]\).

II. Inéquations trigonométriques

Méthode

Pour résoudre dans un intervalle \(I\) une inéquation de la forme \(\cos x \geq a\), \(\cos x \leq a\), \(\sin x \geq a\) ou \(\sin x \leq a\) (ou avec des inégalités strictes) :

• on résout dans \(I\) l’équation \(\cos x = a\) (respectivement \(\sin x = a\)) ;

• on place les points correspondants sur le cercle trigonométrique ;

• on repère sur l’axe des abscisses (respectivement des ordonnées) les valeurs qui vérifient l’inéquation, puis l’arc de cercle correspondant ;

• on lit l’ensemble des solutions en parcourant l’intervalle \(I\).

On procède de même pour les inéquations avec la tangente.

Exemple

Résolvons dans \(I = \,]-\pi\,;\pi]\) l’inéquation \(\cos x > \dfrac{1}{2}\).

Dans \(I\), l’équation \(\cos x = \dfrac{1}{2}\) a pour solutions \(\dfrac{\pi}{3}\) et \(-\dfrac{\pi}{3}\). Les points du cercle dont l’abscisse est strictement supérieure à \(\dfrac{1}{2}\) sont ceux de l’arc rouge :

Donc \(S = \left]-\dfrac{\pi}{3}\,;\dfrac{\pi}{3}\right[\).

Pour l’inéquation \(\cos x \leq \dfrac{1}{2}\), on prend l’autre arc : \(S = \left]-\pi\,;-\dfrac{\pi}{3}\right] \cup \left[\dfrac{\pi}{3}\,;\pi\right]\).

Application 3

Résoudre dans l’intervalle \(I\) les inéquations suivantes :

a) \(\cos x \geq -\dfrac{1}{2}\), avec \(I = [0\,;2\pi]\).

b) \(2\sin x - 1 > 0\), avec \(I = \,]-\pi\,;\pi]\).

III. Angles inscrits et quadrilatères inscriptibles

1. Angle inscrit et angle au centre

Définition

Soient \((\mathscr{C})\) un cercle de centre \(O\), \([AB]\) une corde de \((\mathscr{C})\) et \(M\) un point de \((\mathscr{C})\) distinct de \(A\) et de \(B\).

• L’angle \(\widehat{AMB}\) est appelé angle inscrit interceptant la corde \([AB]\).

• L’angle \(\widehat{AOB}\) est appelé angle au centre interceptant la corde \([AB]\).

Propriétés

• La mesure d’un angle au centre est le double de celle d’un angle inscrit qui intercepte le même arc : sur la figure ci-dessus, \(\widehat{AOB} = 2\,\widehat{AMB}\).

• Deux angles inscrits dans un cercle qui interceptent la même corde \([AB]\) sont isométriques (égaux) si leurs sommets sont du même côté de la droite \((AB)\), et supplémentaires si leurs sommets sont de part et d’autre de \((AB)\).

Sur la figure de gauche, \(\widehat{AMB} = \widehat{ANB}\) ; sur la figure de droite, \(\widehat{AMB} + \widehat{ANB} = \pi\).

2. Quadrilatères inscriptibles

Définition

Un quadrilatère inscriptible est un quadrilatère dont les quatre sommets appartiennent à un même cercle. On dit alors que les sommets sont cocycliques et que le cercle est circonscrit au quadrilatère.

Propriété

Soient \(A\), \(B\) et \(C\) trois points non alignés, \((\mathscr{C})\) le cercle circonscrit au triangle \(ABC\) et \(D\) un point du plan distinct de \(A\), \(B\) et \(C\).

• Si \(A\) et \(C\) sont de part et d’autre de la droite \((BD)\) : le point \(D\) appartient à \((\mathscr{C})\) si et seulement si \(\widehat{BAD} + \widehat{BCD} = \pi\).

• Si \(A\) et \(C\) sont du même côté de la droite \((BD)\) : le point \(D\) appartient à \((\mathscr{C})\) si et seulement si \(\widehat{BAD} = \widehat{BCD}\).

IV. Loi des sinus dans un triangle

1. Aire d’un triangle

Théorème

Soit \(ABC\) un triangle et \(S\) son aire. On a :

\[\begin{aligned} S &= \dfrac{1}{2}\,AB \times AC \times \sin\widehat{A} \\ &= \dfrac{1}{2}\,BA \times BC \times \sin\widehat{B} \\ &= \dfrac{1}{2}\,CA \times CB \times \sin\widehat{C} \end{aligned}\]

2. Loi des sinus

Théorème 1 (loi des sinus)

Soient \(ABC\) un triangle et \(R\) le rayon de son cercle circonscrit. On a :

\[\dfrac{\sin\widehat{A}}{BC} = \dfrac{\sin\widehat{B}}{AC} = \dfrac{\sin\widehat{C}}{AB}\]

et la valeur commune de ces trois rapports est \(\dfrac{1}{2R}\).

Théorème 2

Soient \(ABC\) un triangle, \(p\) son périmètre, \(r\) le rayon de son cercle inscrit et \(S\) son aire. On a :

\[S = \dfrac{1}{2}\,p\,r\]

Application 4

Soit \(ABC\) un triangle isocèle en \(A\) tel que \(AB = AC = 6\) et \(\widehat{BAC} = \dfrac{2\pi}{3}\).

1) Calculer l’aire \(S\) du triangle \(ABC\).

2) Déterminer les angles \(\widehat{B}\) et \(\widehat{C}\), puis calculer \(BC\) à l’aide de la loi des sinus.

3) Calculer le rayon \(R\) du cercle circonscrit au triangle \(ABC\).

4) Calculer le rayon \(r\) du cercle inscrit dans le triangle \(ABC\).