Plus petit entier n tel que 2n soit un carré et 3n un cube
DifficileOn cherche le plus petit entier naturel non nul \(n\) tel que \(2n\) soit un carré parfait et \(3n\) un cube parfait (c’est-à-dire le cube d’un entier).
On admet que : un entier naturel \(N \geq 2\) est un carré parfait si et seulement si tous les exposants de sa décomposition en produit de facteurs premiers sont pairs ; c’est un cube parfait si et seulement si tous ces exposants sont des multiples de \(3\).
Soit \(n\) un entier qui convient. On note \(a\) l’exposant de \(2\) et \(b\) l’exposant de \(3\) dans la décomposition de \(n\) en produit de facteurs premiers (avec \(a = 0\) ou \(b = 0\) si le facteur n’apparaît pas).
1) Quel est l’exposant de \(2\) dans la décomposition de \(2n\) ? Et dans celle de \(3n\) ? En déduire que \(a\) est impair et multiple de \(3\), puis que \(a \geq 3\).
2) Montrer de même que \(b\) est pair et que \(b + 1\) est un multiple de \(3\), puis que \(b \geq 2\).
3) En déduire que \(n\) est un multiple de \(72\).
4) Vérifier que \(72\) convient, puis conclure.
5) Vérifier que le nombre \(2^{9} \times 3^{2}\) convient aussi.
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1) Étude de l’exposant \(a\)
Dans la décomposition de \(n\), le facteur \(2\) a pour exposant \(a\). Donc :
- dans \(2n = 2 \times n\), l’exposant de \(2\) est \(a + 1\) ;
- dans \(3n = 3 \times n\), l’exposant de \(2\) est \(a\).
\(2n\) est un carré parfait, donc \(a + 1\) est pair, c’est-à-dire que \(a\) est impair.
\(3n\) est un cube parfait, donc \(a\) est un multiple de \(3\).
Les multiples de \(3\) sont \(0\), \(3\), \(6\), \(9\), … Le nombre \(0\) est pair, donc \(a \neq 0\) ; le plus petit multiple de \(3\) impair est \(3\). Donc \(a \geq 3\).
2) Étude de l’exposant \(b\)
- Dans \(2n\), l’exposant de \(3\) est \(b\) : comme \(2n\) est un carré parfait, \(b\) est pair.
- Dans \(3n\), l’exposant de \(3\) est \(b + 1\) : comme \(3n\) est un cube parfait, \(b + 1\) est un multiple de \(3\).
Si \(b = 0\), alors \(b + 1 = 1\) n’est pas un multiple de \(3\). Si \(b = 1\), alors \(b\) n’est pas pair. Donc \(b \geq 2\) (et \(b = 2\) est possible, car \(2\) est pair et \(2 + 1 = 3\)).
3) \(n\) est un multiple de \(72\)
La décomposition de \(n\) contient \(2^{a}\) avec \(a \geq 3\) et \(3^{b}\) avec \(b \geq 2\). Donc \(n\) est un multiple de :
\[2^{3} \times 3^{2} = 8 \times 9 = 72\]En particulier \(n \geq 72\).
4) Conclusion
Pour \(n = 72\) :
\[\begin{aligned} 2n &= 144 = 12^{2} \\ 3n &= 216 = 6^{3} \end{aligned}\]Donc \(72\) convient. Comme tout entier qui convient est supérieur ou égal à \(72\), le plus petit entier cherché est :
\[n = 72\]5) Le nombre \(2^{9} \times 3^{2}\)
Pour \(n = 2^{9} \times 3^{2} = 4\,608\) :
\[\begin{aligned} 2n &= 2^{10} \times 3^{2} = (2^{5} \times 3)^{2} \\ 3n &= 2^{9} \times 3^{3} = (2^{3} \times 3)^{3} \end{aligned}\]c’est-à-dire \(2n = 96^{2}\) et \(3n = 24^{3}\). Donc ce nombre convient aussi : ici \(a = 9\) (impair et multiple de \(3\)) et \(b = 2\).