Le nombre n⁴ + 4 n’est pas premier (identité de Sophie Germain)

1) Cas \(n = 0\) et \(n = 1\)

Pour \(n = 0\) : \(N = 0 + 4 = 4 = 2 \times 2\), qui n’est pas premier.

Pour \(n = 1\) : \(N = 1 + 4 = 5\), qui est premier.

2) Une différence de deux carrés

\[\begin{aligned} &(n^{2} + 2)^{2} - (2n)^{2} \\ &= n^{4} + 4n^{2} + 4 - 4n^{2} \\ &= n^{4} + 4 = N \end{aligned}\]

3) Factorisation de \(N\)

On utilise l’identité \(a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b)\) avec \(a = n^{2} + 2\) et \(b = 2n\) :

\[\begin{aligned} N &= (n^{2} + 2)^{2} - (2n)^{2} \\ &= (n^{2} + 2 + 2n) \\ &\quad \times (n^{2} + 2 - 2n) \end{aligned}\]

Donc \(N = (n^{2} + 2n + 2)(n^{2} - 2n + 2)\).

4) a) Écriture de \(n^{2} - 2n + 2\)

\[\begin{aligned} (n - 1)^{2} + 1 &= n^{2} - 2n + 1 + 1 \\ &= n^{2} - 2n + 2 \end{aligned}\]

b) Les deux facteurs sont supérieurs ou égaux à \(2\)

Comme \(n \geq 2\), on a \(n - 1 \geq 1\), donc \((n - 1)^{2} \geq 1\) et :

\[n^{2} - 2n + 2 = (n - 1)^{2} + 1 \geq 2\]

D’autre part, \(n^{2} + 2n + 2 \geq 2\), car \(n^{2} + 2n \geq 0\).

c) \(N\) n’est pas premier

On pose \(d = n^{2} - 2n + 2\). D’après 3), \(d\) est un diviseur de \(N\), et \(d \geq 2\), donc \(d \neq 1\).

De plus \(N = d \times (n^{2} + 2n + 2)\) avec \(n^{2} + 2n + 2 \geq 2\), donc \(N \geq 2d > d\) : ainsi \(d \neq N\).

\(N\) admet un diviseur différent de \(1\) et de \(N\) : \(N\) n’est pas un nombre premier.

5) Décomposition de \(10\,004\)

On remarque que \(10\,004 = 10^{4} + 4\). Pour \(n = 10\), on a \(n^{2} + 2n + 2 = 122\) et \(n^{2} - 2n + 2 = 82\). D’après 3) :

\[10\,004 = 122 \times 82\]

Or \(122 = 2 \times 61\) et \(82 = 2 \times 41\). Les nombres \(41\) et \(61\) sont premiers : ils ne sont divisibles ni par \(2\), ni par \(3\), ni par \(5\), ni par \(7\), et \(11^{2} = 121\) dépasse \(61\). Donc :

\[10\,004 = 2^{2} \times 41 \times 61\]

Remarque : l’égalité de la question 3) s’appelle l’identité de Sophie Germain.