Nombre premier p ≥ 5 : p² − 1 est un multiple de 24
DifficileSoit \(p\) un nombre premier tel que \(p \geq 5\).
1) Justifier que \(p\) est impair, puis montrer que \(p^{2} - 1\) est un multiple de \(8\).
2) a) Montrer que l’un des trois entiers consécutifs \(p - 1\), \(p\) et \(p + 1\) est un multiple de \(3\).
b) Justifier que \(p\) n’est pas un multiple de \(3\), puis en déduire que \(p^{2} - 1\) est un multiple de \(3\).
3) En déduire que \(p^{2} - 1\) est un multiple de \(24\).
4) Application : soient \(p\) et \(q\) deux nombres premiers tels que \(p > q \geq 5\). Montrer que \(p^{2} - q^{2}\) est un multiple de \(24\), puis le vérifier pour \(p = 13\) et \(q = 7\).
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1) \(p\) est impair et \(p^{2} - 1\) est un multiple de \(8\)
Si \(p\) était pair, \(2\) serait un diviseur de \(p\) différent de \(1\) et de \(p\) (car \(p \geq 5\)) : \(p\) ne serait pas premier. Donc \(p\) est impair.
Il existe donc un entier naturel \(k\) tel que \(p = 2k + 1\), et :
\[\begin{aligned} p^{2} - 1 &= (2k + 1)^{2} - 1 \\ &= 4k^{2} + 4k \\ &= 4k(k + 1) \end{aligned}\]\(k\) et \(k + 1\) sont deux entiers consécutifs, donc \(k(k + 1)\) est pair : \(k(k + 1) = 2m\) avec \(m \in \mathbb{N}\). D’où :
\[p^{2} - 1 = 8m\]Donc \(p^{2} - 1\) est un multiple de \(8\).
2) a) Un multiple de \(3\) parmi \(p - 1\), \(p\) et \(p + 1\)
On écrit \(p = 3q\), \(p = 3q + 1\) ou \(p = 3q + 2\), avec \(q \in \mathbb{N}\).
- Si \(p = 3q\), alors \(p\) est un multiple de \(3\).
- Si \(p = 3q + 1\), alors \(p - 1 = 3q\) est un multiple de \(3\).
- Si \(p = 3q + 2\), alors \(p + 1 = 3(q + 1)\) est un multiple de \(3\).
b) \(p^{2} - 1\) est un multiple de \(3\)
Si \(p\) était un multiple de \(3\), alors \(3\) serait un diviseur de \(p\) différent de \(1\) et de \(p\) (car \(p \geq 5\)) : \(p\) ne serait pas premier. Donc \(p\) n’est pas un multiple de \(3\).
D’après a), c’est donc \(p - 1\) ou \(p + 1\) qui est un multiple de \(3\). Par suite, le produit
\[(p - 1)(p + 1) = p^{2} - 1\]est un multiple de \(3\).
3) \(p^{2} - 1\) est un multiple de \(24\)
On a \(p^{2} - 1 = 8m\), et \(8m\) est un multiple de \(3\). Or \(9m\) est aussi un multiple de \(3\), donc la différence
\[m = 9m - 8m\]est un multiple de \(3\) : il existe un entier naturel \(t\) tel que \(m = 3t\). D’où :
\[p^{2} - 1 = 8 \times 3t = 24t\]Donc \(p^{2} - 1\) est un multiple de \(24\).
4) Application
D’après 3), il existe deux entiers naturels \(t\) et \(t'\) tels que \(p^{2} - 1 = 24t\) et \(q^{2} - 1 = 24t'\). Comme \(p > q\), on a \(t > t'\) et :
\[\begin{aligned} p^{2} - q^{2} &= (p^{2} - 1) - (q^{2} - 1) \\ &= 24t - 24t' \\ &= 24(t - t') \end{aligned}\]Donc \(p^{2} - q^{2}\) est un multiple de \(24\).
Vérification : \(13^{2} - 7^{2} = 169 - 49 = 120 = 24 \times 5\).