Montrer que n⁵ − n est un multiple de 30

Exercice 1

Difficile

Soit \(n\) un entier naturel non nul. On pose :

\[A = n^{5} - n\]

1) Montrer que :

\[A = (n - 1)\,n\,(n + 1)(n^{2} + 1)\]

2) Montrer que \(A\) est un multiple de \(2\) et un multiple de \(3\).

3) On écrit \(n = 5k + r\), où \(k\) est un entier naturel et \(r\) l’un des nombres \(0\), \(1\), \(2\), \(3\), \(4\). Montrer que, dans chacun des cinq cas, \(A\) est un multiple de \(5\).

4) En déduire que \(A\) est un multiple de \(30\).

5) Application : montrer que les nombres \(n^{5}\) et \(n\) ont le même chiffre des unités.

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1) Factorisation de \(A\)

\[\begin{aligned} A &= n^{5} - n \\ &= n(n^{4} - 1) \\ &= n(n^{2} - 1)(n^{2} + 1) \\ &= n(n - 1)(n + 1)(n^{2} + 1) \end{aligned}\]

Donc \(A = (n - 1)\,n\,(n + 1)(n^{2} + 1)\).

2) \(A\) est un multiple de \(2\) et de \(3\)

• Multiple de \(2\). \(n\) et \(n + 1\) sont deux entiers consécutifs : l’un des deux est pair. Donc le produit \(A\) est pair.

• Multiple de \(3\). On écrit \(n = 3q\), \(n = 3q + 1\) ou \(n = 3q + 2\), avec \(q \in \mathbb{N}\).

Si \(n = 3q\), alors \(n\) est un multiple de \(3\).
Si \(n = 3q + 1\), alors \(n - 1 = 3q\) est un multiple de \(3\).
Si \(n = 3q + 2\), alors \(n + 1 = 3(q + 1)\) est un multiple de \(3\).

Dans tous les cas, l’un des facteurs de \(A\) est un multiple de \(3\), donc \(A\) est un multiple de \(3\).

3) \(A\) est un multiple de \(5\)

\(r = 0\) : \(n = 5k\) est un multiple de \(5\).
\(r = 1\) : \(n - 1 = 5k\) est un multiple de \(5\).
\(r = 4\) : \(n + 1 = 5k + 5 = 5(k + 1)\) est un multiple de \(5\).
\(r = 2\) : on calcule \(n^{2} + 1\) :

\[\begin{aligned} n^{2} + 1 &= (5k + 2)^{2} + 1 \\ &= 25k^{2} + 20k + 5 \\ &= 5(5k^{2} + 4k + 1) \end{aligned}\]

\(r = 3\) : de même :

\[\begin{aligned} n^{2} + 1 &= (5k + 3)^{2} + 1 \\ &= 25k^{2} + 30k + 10 \\ &= 5(5k^{2} + 6k + 2) \end{aligned}\]

Dans chacun des cinq cas, l’un des facteurs de \(A\) est un multiple de \(5\). Donc \(A\) est un multiple de \(5\).

4) \(A\) est un multiple de \(30\)

Si \(n = 1\), alors \(A = 0 = 30 \times 0\).

Si \(n \geq 2\), alors \(A \geq 2\) et les nombres \(2\), \(3\) et \(5\) sont trois nombres premiers distincts qui divisent \(A\) : ils figurent donc tous les trois dans la décomposition de \(A\) en produit de facteurs premiers. Par suite, il existe un entier naturel \(q\) tel que :

\[A = 2 \times 3 \times 5 \times q = 30q\]

Donc \(A\) est un multiple de \(30\).

5) \(n^{5}\) et \(n\) ont le même chiffre des unités

\(A\) est un multiple de \(30\), donc de \(10\) : il existe un entier naturel \(t\) tel que \(n^{5} - n = 10t\), c’est-à-dire :

\[n^{5} = n + 10t\]

Or ajouter un multiple de \(10\) à un entier ne change pas son chiffre des unités. Donc \(n^{5}\) et \(n\) ont le même chiffre des unités.

Exemple : \(7^{5} = 16\,807\) se termine par \(7\), et \(12^{5} = 248\,832\) se termine par \(2\).