Somme des carrés de deux entiers impairs : jamais un carré parfait
Difficile1) Soit \(n\) un entier naturel impair. Montrer que \(n^{2} - 1\) est un multiple de \(8\).
2) Soient \(a\) et \(b\) deux entiers naturels impairs.
a) Montrer que \(a^{2} + b^{2} - 2\) est un multiple de \(8\).
b) En déduire que \(a^{2} + b^{2}\) est pair, mais que ce n’est pas un multiple de \(4\).
3) Soit \(c\) un entier naturel. Montrer que si \(c^{2}\) est pair, alors \(c^{2}\) est un multiple de \(4\).
4) En déduire que la somme des carrés de deux entiers naturels impairs n’est jamais un carré parfait.
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Rappel : le produit de deux entiers consécutifs \(k(k + 1)\) est toujours pair, car l’un des deux nombres \(k\) et \(k + 1\) est pair.
1) \(n^{2} - 1\) est un multiple de \(8\)
\(n\) est impair, donc il existe un entier naturel \(k\) tel que \(n = 2k + 1\). Alors :
\[\begin{aligned} n^{2} - 1 &= (2k + 1)^{2} - 1 \\ &= 4k^{2} + 4k + 1 - 1 \\ &= 4k(k + 1) \end{aligned}\]Le nombre \(k(k + 1)\) est pair : il existe un entier naturel \(m\) tel que \(k(k + 1) = 2m\). Donc :
\[n^{2} - 1 = 4 \times 2m = 8m\]Ainsi \(n^{2} - 1\) est un multiple de \(8\).
2) a) \(a^{2} + b^{2} - 2\) est un multiple de \(8\)
\(a\) et \(b\) sont impairs. D’après la question 1), il existe deux entiers naturels \(m\) et \(m'\) tels que :
\[a^{2} - 1 = 8m \quad\text{et}\quad b^{2} - 1 = 8m'\]En ajoutant membre à membre :
\[\begin{aligned} a^{2} + b^{2} - 2 &= 8m + 8m' \\ &= 8(m + m') \end{aligned}\]Donc \(a^{2} + b^{2} - 2\) est un multiple de \(8\).
b) \(a^{2} + b^{2}\) est pair, mais pas multiple de \(4\)
On pose \(M = m + m'\). On a \(a^{2} + b^{2} = 8M + 2\), donc :
\[a^{2} + b^{2} = 2(4M + 1)\]Donc \(a^{2} + b^{2}\) est pair.
Supposons que \(a^{2} + b^{2}\) soit un multiple de \(4\). Comme \(8M\) est aussi un multiple de \(4\), la différence
\[(a^{2} + b^{2}) - 8M = 2\]serait un multiple de \(4\), ce qui est faux. Donc \(a^{2} + b^{2}\) n’est pas un multiple de \(4\).
3) Si \(c^{2}\) est pair, alors \(c^{2}\) est un multiple de \(4\)
Supposons que \(c^{2}\) est pair. Si \(c\) était impair, on aurait \(c = 2k + 1\) et \(c^{2} = 2(2k^{2} + 2k) + 1\) serait impair : c’est impossible. Donc \(c\) est pair : \(c = 2k\) avec \(k \in \mathbb{N}\). Alors :
\[c^{2} = (2k)^{2} = 4k^{2}\]Donc \(c^{2}\) est un multiple de \(4\).
4) \(a^{2} + b^{2}\) n’est jamais un carré parfait
On raisonne par l’absurde : supposons qu’il existe un entier naturel \(c\) tel que \(a^{2} + b^{2} = c^{2}\).
D’après 2) b), \(c^{2} = a^{2} + b^{2}\) est pair. D’après 3), \(c^{2}\) est alors un multiple de \(4\), donc \(a^{2} + b^{2}\) est un multiple de \(4\) : cela contredit la question 2) b).
Conclusion : la somme des carrés de deux entiers naturels impairs n’est jamais un carré parfait.
Exemple : \(3^{2} + 5^{2} = 34\) et \(7^{2} + 9^{2} = 130\) ne sont pas des carrés parfaits.