Calcul vectoriel avec un paramètre réel x
Difficile\(ABCD\) est un quadrilatère et \(x\) un nombre réel. On considère les points \(M\) et \(N\) tels que :
\[\overrightarrow{AM} = x\overrightarrow{AD} \quad\text{et}\quad \overrightarrow{BN} = x\overrightarrow{BC}\]1) Montrer que :
\[\overrightarrow{MN} = (1 - x)\overrightarrow{AB} + x\overrightarrow{DC}\]2) On suppose que \(\overrightarrow{DC} = 2\overrightarrow{AB}\).
a) Quelle est la nature du quadrilatère \(ABCD\) ?
b) Exprimer \(\overrightarrow{MN}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\).
c) Déterminer la valeur de \(x\) pour que \(M = N\).
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1) D’après la relation de Chasles, avec \(\overrightarrow{MA} = -x\overrightarrow{AD}\) :
\[\begin{aligned} \overrightarrow{MN} &= \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BN} \\ &= -x\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB} + x\overrightarrow{BC} \\ &= \overrightarrow{AB} + x(\overrightarrow{BC} - \overrightarrow{AD}) \end{aligned}\]Or \(\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\), donc \(\overrightarrow{BC} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DC} - \overrightarrow{AB}\). D’où :
\[\begin{aligned} \overrightarrow{MN} &= \overrightarrow{AB} + x(\overrightarrow{DC} - \overrightarrow{AB}) \\ &= (1 - x)\overrightarrow{AB} + x\overrightarrow{DC} \end{aligned}\]2) a) On a \(\overrightarrow{DC} = 2\overrightarrow{AB}\), donc les vecteurs \(\overrightarrow{DC}\) et \(\overrightarrow{AB}\) sont colinéaires : les droites \((AB)\) et \((DC)\) sont parallèles. Donc \(ABCD\) est un trapèze de bases \([AB]\) et \([DC]\).
b) On remplace \(\overrightarrow{DC}\) par \(2\overrightarrow{AB}\) :
\[\begin{aligned} \overrightarrow{MN} &= (1 - x)\overrightarrow{AB} + 2x\overrightarrow{AB} \\ &= (1 + x)\overrightarrow{AB} \end{aligned}\]c) \(M = N\) signifie que \(\overrightarrow{MN} = \vec{0}\), c’est-à-dire :
\[(1 + x)\overrightarrow{AB} = \vec{0}\]Comme \(\overrightarrow{AB} \ne \vec{0}\), on obtient \(1 + x = 0\), donc :
\[x = -1\]