Alignement, milieu et droites parallèles dans un parallélogramme
Difficile\(ABCD\) est un parallélogramme ; \(M\) et \(N\) sont les deux points du plan tels que :
\[\overrightarrow{BM} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC} \quad\text{et}\quad \overrightarrow{DN} = 2\overrightarrow{DC}\]1) Construire une figure convenable.
2) Montrer que :
\[\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}\]et
\[\overrightarrow{AN} = 2\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}\]3) Montrer que les points \(A\), \(M\) et \(N\) sont alignés.
4) Soient \(E\) et \(F\) les points du plan tels que :
\[\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BE} \quad\text{et}\quad \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DF}\]Montrer que \(C\) est le milieu du segment \([EF]\).
5) Montrer que : \((BD) \parallel (EF)\).
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1) Figure :
2) \(ABCD\) est un parallélogramme, donc \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}\) et \(\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}\). D’après la relation de Chasles :
\[\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}\] \[\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DN} = 2\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}\]3) On remarque que :
\[2\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AN}\]Les vecteurs \(\overrightarrow{AN}\) et \(\overrightarrow{AM}\) sont colinéaires, donc les points \(A\), \(M\) et \(N\) sont alignés (et \(M\) est le milieu de \([AN]\)).
4) On a \(\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{DA} = -\overrightarrow{AD}\) et \(\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}\). Donc :
\[\overrightarrow{CE} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BE} = -\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB}\] \[\overrightarrow{CF} = \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DF} = -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}\]D’où \(\overrightarrow{CE} + \overrightarrow{CF} = \vec{0}\) : \(C\) est le milieu du segment \([EF]\).
5) On a \(\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}\). Comme \(C\) est le milieu de \([EF]\) :
\[\begin{aligned} \overrightarrow{EF} &= 2\overrightarrow{CF} \\ &= 2(\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}) \\ &= 2\overrightarrow{BD} \end{aligned}\]Les vecteurs \(\overrightarrow{EF}\) et \(\overrightarrow{BD}\) sont colinéaires, donc \((BD) \parallel (EF)\).