Triangle, milieux et parallélogrammes
Moyen\(ABC\) est un triangle ; \(I\) et \(J\) sont les milieux respectifs des segments \([BC]\) et \([AC]\).
1) Montrer que :
\[\overrightarrow{AI} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\]et
\[\overrightarrow{BJ} = -\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\]2) Soient \(M\) et \(N\) les deux points du plan tels que : \(\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AI}\) et \(\overrightarrow{BN} = 2\overrightarrow{BJ}\).
a) Quelle est la nature des quadrilatères \(ABMC\) et \(ABCN\) ? Justifier la réponse.
b) Montrer que \(C\) est le milieu du segment \([MN]\).
Afficher la correctionMasquer la correction
1) \(I\) est le milieu de \([BC]\), donc \(\overrightarrow{BI} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}\). Alors :
\[\begin{aligned} \overrightarrow{AI} &= \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BI} \\ &= \overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC} \\ &= \overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC}) \\ &= \overrightarrow{AB} - \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC} \\ &= \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC} \end{aligned}\]\(J\) est le milieu de \([AC]\), donc \(\overrightarrow{AJ} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\). Alors :
\[\overrightarrow{BJ} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AJ} = -\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\]2) a) On a \(\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AI}\), donc \(I\) est le milieu de \([AM]\). Comme \(I\) est aussi le milieu de \([BC]\), les diagonales \([AM]\) et \([BC]\) du quadrilatère \(ABMC\) ont le même milieu : \(ABMC\) est un parallélogramme.
De même, \(\overrightarrow{BN} = 2\overrightarrow{BJ}\), donc \(J\) est le milieu de \([BN]\) ; c’est aussi le milieu de \([AC]\). Les diagonales de \(ABCN\) ont le même milieu : \(ABCN\) est un parallélogramme.
b) \(ABMC\) est un parallélogramme, donc \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CM}\). \(ABCN\) est un parallélogramme, donc \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{NC}\). D’où :
\[\overrightarrow{NC} = \overrightarrow{CM}\]Donc \(C\) est le milieu du segment \([MN]\).