Parallélogramme : exprimer des vecteurs et prouver un alignement
Moyen\(ABCD\) est un parallélogramme. On considère les points \(M\) et \(N\) tels que :
\[\overrightarrow{BM} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} \quad\text{et}\quad \overrightarrow{CN} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{CB}\]1) Montrer que :
\[\overrightarrow{DM} = \overrightarrow{DA} + \dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB}\]et
\[\overrightarrow{DN} = \overrightarrow{DC} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow{CB}\]2) Exprimer en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AD}\) :
a) le vecteur \(\overrightarrow{DM}\) ;
b) le vecteur \(\overrightarrow{DN}\).
3) Montrer que : \(2\overrightarrow{DM} - 3\overrightarrow{DN} = \vec{0}\).
4) En déduire que les points \(D\), \(M\) et \(N\) sont alignés.
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1) D’après la relation de Chasles :
\[\begin{aligned} \overrightarrow{DM} &= \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM} \\ &= \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} \\ &= \overrightarrow{DA} + \dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB} \end{aligned}\] \[\overrightarrow{DN} = \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CN} = \overrightarrow{DC} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow{CB}\]2) a) Comme \(\overrightarrow{DA} = -\overrightarrow{AD}\) :
\[\overrightarrow{DM} = \dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}\]b) \(ABCD\) est un parallélogramme, donc \(\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{DA} = -\overrightarrow{AD}\). D’où :
\[\overrightarrow{DN} = \overrightarrow{AB} - \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AD}\]3) On calcule :
\[2\overrightarrow{DM} = 3\overrightarrow{AB} - 2\overrightarrow{AD}\] \[3\overrightarrow{DN} = 3\overrightarrow{AB} - 2\overrightarrow{AD}\]Donc \(2\overrightarrow{DM} = 3\overrightarrow{DN}\), c’est-à-dire \(2\overrightarrow{DM} - 3\overrightarrow{DN} = \vec{0}\).
4) On a \(\overrightarrow{DM} = \dfrac{3}{2}\overrightarrow{DN}\) : les vecteurs \(\overrightarrow{DM}\) et \(\overrightarrow{DN}\) sont colinéaires, donc les points \(D\), \(M\) et \(N\) sont alignés.