Construire des points et montrer un alignement
Moyen\(ABCD\) est un parallélogramme.
1) Placer le point \(M\) tel que : \(\overrightarrow{AM} = 3\overrightarrow{AB}\).
2) Placer le point \(N\) tel que : \(\overrightarrow{AN} = \dfrac{3}{2}\overrightarrow{AD}\).
3) Montrer que :
\[\overrightarrow{CM} = 3\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}\]et
\[\overrightarrow{NM} = \dfrac{9}{2}\overrightarrow{AB} - \dfrac{3}{2}\overrightarrow{AC}\]4) En déduire que les points \(C\), \(M\) et \(N\) sont alignés.
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1) et 2) \(M\) est le point de la demi-droite \([AB)\) tel que \(AM = 3AB\) ; \(N\) est le point de la demi-droite \([AD)\) tel que \(AN = \dfrac{3}{2}AD\).
3) D’après la relation de Chasles :
\[\overrightarrow{CM} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AM} = 3\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}\]De même :
\[\begin{aligned} \overrightarrow{NM} &= \overrightarrow{NA} + \overrightarrow{AM} \\ &= -\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AD} + 3\overrightarrow{AB} \end{aligned}\]Or \(ABCD\) est un parallélogramme, donc :
\[\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}\]c’est-à-dire \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}\). Donc :
\[\begin{aligned} \overrightarrow{NM} &= -\dfrac{3}{2}(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) + 3\overrightarrow{AB} \\ &= -\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AC} + \dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AB} \\ &= \dfrac{9}{2}\overrightarrow{AB} - \dfrac{3}{2}\overrightarrow{AC} \end{aligned}\]4) On remarque que :
\[\overrightarrow{NM} = \dfrac{3}{2}(3\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}) = \dfrac{3}{2}\overrightarrow{CM}\]Les vecteurs \(\overrightarrow{NM}\) et \(\overrightarrow{CM}\) sont colinéaires, donc les points \(C\), \(M\) et \(N\) sont alignés.