Droite des milieux d’un triangle par le calcul vectoriel
Facile\(ABC\) est un triangle ; \(I\) et \(J\) sont les milieux respectifs des segments \([AB]\) et \([BC]\).
1) Montrer que : \(\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{IJ}\).
2) En déduire que les droites \((IJ)\) et \((AC)\) sont parallèles.
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1) \(I\) est le milieu de \([AB]\) et \(J\) est le milieu de \([BC]\), donc :
\[\overrightarrow{IB} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} \quad\text{et}\quad \overrightarrow{BJ} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}\]D’après la relation de Chasles :
\[\begin{aligned} \overrightarrow{IJ} &= \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{BJ} \\ &= \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC} \\ &= \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}) \\ &= \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC} \end{aligned}\]Donc \(\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{IJ}\).
2) On a \(\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{IJ}\), donc les vecteurs \(\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{IJ}\) sont colinéaires. Par suite, les droites \((IJ)\) et \((AC)\) sont parallèles.