Alignement de trois points et milieu d’un segment
Moyen\(ABCD\) est un parallélogramme et \(M\) le point du plan tel que :
\[\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}\]1) Montrer que les points \(D\), \(C\) et \(M\) sont alignés.
2) En déduire que \(C\) est le milieu du segment \([DM]\).
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1) D’après la relation de Chasles :
\[\begin{aligned} \overrightarrow{DM} &= \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AM} \\ &= \overrightarrow{DA} + 2\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} \\ &= 2\overrightarrow{AB} \end{aligned}\]car \(\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AD} = \vec{0}\). Or \(ABCD\) est un parallélogramme, donc \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\). D’où :
\[\overrightarrow{DM} = 2\overrightarrow{DC}\]Les vecteurs \(\overrightarrow{DM}\) et \(\overrightarrow{DC}\) sont colinéaires, donc les points \(D\), \(C\) et \(M\) sont alignés.
2) On a \(\overrightarrow{DM} = 2\overrightarrow{DC}\), donc \(C\) est le milieu du segment \([DM]\).