Montrer que deux vecteurs sont colinéaires
MoyenSoient \(A\), \(B\), \(C\) et \(M\) quatre points du plan et \(\vec{u}\) le vecteur défini par :
\[\vec{u} = 2\overrightarrow{MA} - 5\overrightarrow{MB} + 3\overrightarrow{MC}\]1) Montrer que : \(\vec{u} = 3\overrightarrow{AC} - 5\overrightarrow{AB}\).
2) Soit \(\vec{v}\) le vecteur défini par : \(\vec{v} = 4\overrightarrow{BA} + 6\overrightarrow{BC}\). Montrer que les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires.
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Rappel : vecteurs colinéaires
Deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires s’il existe un réel \(k\) tel que \(\vec{v} = k\vec{u}\) (ou \(\vec{u} = k\vec{v}\)).
Les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés si et seulement si les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires.
Les droites \((AB)\) et \((CD)\) sont parallèles si et seulement si les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont colinéaires.
1) On fait apparaître le point \(A\) :
\[\begin{aligned} \overrightarrow{MB} &= \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB} \\ \overrightarrow{MC} &= \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AC} \end{aligned}\]Donc :
\[\begin{aligned} \vec{u} &= 2\overrightarrow{MA} - 5(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB}) \\ &\quad + 3(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AC}) \\ &= (2 - 5 + 3)\overrightarrow{MA} \\ &\quad - 5\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC} \\ &= 3\overrightarrow{AC} - 5\overrightarrow{AB} \end{aligned}\]Remarque : le vecteur \(\vec{u}\) ne dépend pas du point \(M\).
2) On fait apparaître le point \(A\) dans \(\overrightarrow{BC}\) :
\[\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC}\]Donc :
\[\begin{aligned} \vec{v} &= 4\overrightarrow{BA} + 6(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC}) \\ &= 10\overrightarrow{BA} + 6\overrightarrow{AC} \\ &= -10\overrightarrow{AB} + 6\overrightarrow{AC} \\ &= 2(3\overrightarrow{AC} - 5\overrightarrow{AB}) \end{aligned}\]Donc \(\vec{v} = 2\vec{u}\) : les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires.