Vecteurs nuls dans un parallélogramme de centre O

Rappel : parallélogramme et milieu

\(ABCD\) est un parallélogramme signifie que \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\) ; on a alors \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}\).

\(I\) est le milieu de \([AB]\) signifie que \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}\), ou encore que \(\overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{AI}\).

Le centre \(O\) est le milieu des diagonales \([AC]\) et \([BD]\), donc :

\[\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \vec{0} \ \text{ et } \ \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} = \vec{0}\]

1) Comme \(\overrightarrow{BO} = -\overrightarrow{OB}\) et \(\overrightarrow{DO} = -\overrightarrow{OD}\) :

\[\begin{aligned} \vec{u} &= (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC}) - (\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}) \\ &= \vec{0} - \vec{0} = \vec{0} \end{aligned}\]

2) On a \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}\) (règle du parallélogramme) et \(2\overrightarrow{CO} = \overrightarrow{CA}\) (car \(O\) est le milieu de \([AC]\)). Donc :

\[\vec{v} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{AA} = \vec{0}\]

3) D’après la relation de Chasles, \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\) et \(\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}\). Donc :

\[\begin{aligned} \vec{w} &= \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} \\ &\quad - 2\overrightarrow{BC} \\ &= \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} \end{aligned}\]

Or \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\), donc \(\overrightarrow{CD} = -\overrightarrow{AB}\). D’où :

\[\vec{w} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AB} = \vec{0}\]