Démontrer des égalités vectorielles avec la relation de Chasles
Facile\(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) sont quatre points du plan. Montrer que :
1) \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB}\) ;
2) \(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{DB} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC}\).
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1) On fait apparaître le point \(D\) dans \(\overrightarrow{AB}\) et le point \(B\) dans \(\overrightarrow{CD}\) :
\[\begin{aligned} &\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} \\ &= (\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DB}) + (\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BD}) \\ &= \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB} + (\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BD}) \\ &= \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB} \end{aligned}\]car \(\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{DD} = \vec{0}\).
2) On fait apparaître le point \(B\) dans \(\overrightarrow{AC}\) :
\[\begin{aligned} &\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{DB} \\ &= (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}) + \overrightarrow{DB} \\ &= \overrightarrow{AB} + (\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BC}) \\ &= \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} \end{aligned}\]