Carrés parfaits

Rappel : un entier naturel \(N\) est un carré parfait s’il existe \(k \in \mathbb{N}\) tel que \(N = k^{2}\).

Méthode : on cherche à reconnaître l’identité remarquable \(a^{2} + 2ab + b^{2} = (a + b)^{2}\).

Le nombre \(A\)

On reconnaît l’identité avec \(a = n\) et \(b = 2\) :

\[\begin{aligned} A &= n^{2} + 4n + 4 \\ &= n^{2} + 2 \times n \times 2 + 2^{2} \\ &= (n + 2)^{2} \end{aligned}\]

Comme \(n + 2 \in \mathbb{N}\), \(A\) est un carré parfait.

Le nombre \(B\)

On reconnaît l’identité avec \(a = 2n\) et \(b = 1\) :

\[\begin{aligned} B &= 4n^{2} + 4n + 1 \\ &= (2n)^{2} + 2 \times 2n \times 1 + 1^{2} \\ &= (2n + 1)^{2} \end{aligned}\]

Comme \(2n + 1 \in \mathbb{N}\), \(B\) est un carré parfait.

Le nombre \(C\)

On reconnaît l’identité avec \(a = 3n\) et \(b = 1\) :

\[\begin{aligned} C &= 9n^{2} + 6n + 1 \\ &= (3n)^{2} + 2 \times 3n \times 1 + 1^{2} \\ &= (3n + 1)^{2} \end{aligned}\]

Comme \(3n + 1 \in \mathbb{N}\), \(C\) est un carré parfait.

Le nombre \(D\)

On développe d’abord, puis on reconnaît l’identité avec \(a = n^{2}\) et \(b = 1\) :

\[\begin{aligned} D &= n^{2}(n^{2} + 2) + 1 \\ &= n^{4} + 2n^{2} + 1 \\ &= (n^{2})^{2} + 2 \times n^{2} \times 1 + 1^{2} \\ &= (n^{2} + 1)^{2} \end{aligned}\]

Comme \(n^{2} + 1 \in \mathbb{N}\), \(D\) est un carré parfait.

Le nombre \(E\)

On développe d’abord, puis on reconnaît l’identité avec \(a = 3n\) et \(b = 2\) :

\[\begin{aligned} E &= 3n(3n + 4) + 4 \\ &= 9n^{2} + 12n + 4 \\ &= (3n)^{2} + 2 \times 3n \times 2 + 2^{2} \\ &= (3n + 2)^{2} \end{aligned}\]

Comme \(3n + 2 \in \mathbb{N}\), \(E\) est un carré parfait.

Le nombre \(F\)

Idée : on regroupe le premier facteur avec le dernier, et les deux facteurs du milieu, pour faire apparaître la même expression \(n^{2} + 3n\) :

\[n(n + 3) = n^{2} + 3n\] \[(n + 1)(n + 2) = n^{2} + 3n + 2\]

On pose \(m = n^{2} + 3n\). On a \(m \in \mathbb{N}\), \(n(n + 3) = m\) et \((n + 1)(n + 2) = m + 2\). Comme \(F = \big[n(n + 3)\big] \times \big[(n + 1)(n + 2)\big] + 1\), on obtient :

\[\begin{aligned} F &= m(m + 2) + 1 \\ &= m^{2} + 2m + 1 \\ &= (m + 1)^{2} \end{aligned}\]

En remplaçant \(m\) par \(n^{2} + 3n\) :

\[F = (n^{2} + 3n + 1)^{2}\]

Comme \(n^{2} + 3n + 1 \in \mathbb{N}\), \(F\) est un carré parfait.

Vérification pour \(n = 1\) : \(F = 1 \times 2 \times 3 \times 4 + 1 = 25 = 5^{2}\), et \(n^{2} + 3n + 1 = 5\).

Le nombre \(G\)

On développe chaque partie :

\[\begin{aligned} &(n + 2)(n - 3) \\ &= n^{2} - 3n + 2n - 6 \\ &= n^{2} - n - 6 \end{aligned}\] \[7(n + 1) = 7n + 7\]

On additionne et on réduit :

\[\begin{aligned} G &= n^{2} - n - 6 + 8n^{2} + 7n + 7 \\ &= 9n^{2} + 6n + 1 \end{aligned}\]

On retrouve le nombre \(C\) :

\[\begin{aligned} G &= (3n)^{2} + 2 \times 3n \times 1 + 1^{2} \\ &= (3n + 1)^{2} \end{aligned}\]

Comme \(3n + 1 \in \mathbb{N}\), \(G\) est un carré parfait.