Décomposition, PGCD, PPCM et simplification d’une racine

Méthode : pour décomposer un nombre, on le divise par le plus petit nombre premier possible (\(2\), puis \(3\), puis \(5\), puis \(7\)…), et on recommence avec le quotient jusqu’à obtenir \(1\).

1) Décomposition en produit de facteurs premiers

On effectue les divisions successives (\(360\) à gauche, \(126\) à droite) :

\[\begin{array}{r|l} 360 & 2 \\ 180 & 2 \\ 90 & 2 \\ 45 & 3 \\ 15 & 3 \\ 5 & 5 \\ 1 & \end{array} \qquad\qquad \begin{array}{r|l} 126 & 2 \\ 63 & 3 \\ 21 & 3 \\ 7 & 7 \\ 1 & \end{array}\]

Pour \(360\) : le facteur \(2\) apparaît trois fois, le facteur \(3\) deux fois et le facteur \(5\) une fois. Donc :

\[360 = 2^{3} \times 3^{2} \times 5\]

Pour \(126\) : le facteur \(2\) apparaît une fois, le facteur \(3\) deux fois et le facteur \(7\) une fois. Donc :

\[126 = 2 \times 3^{2} \times 7\]

Vérification : \(2^{3} \times 3^{2} \times 5 = 8 \times 9 \times 5 = 360\) et \(2 \times 3^{2} \times 7 = 2 \times 9 \times 7 = 126\).

2) PGCD et PPCM de \(126\) et \(360\)

• Le PGCD est le produit des facteurs premiers communs, chacun affecté de son plus petit exposant.

Les facteurs premiers communs sont \(2\) et \(3\) :

• pour \(2\) : les exposants sont \(1\) (dans \(126\)) et \(3\) (dans \(360\)), on garde \(2^{1}\) ;
• pour \(3\) : les exposants sont \(2\) et \(2\), on garde \(3^{2}\).

\[\begin{aligned} \mathrm{PGCD}(126\,;360) &= 2 \times 3^{2} \\ &= 2 \times 9 \\ &= 18 \end{aligned}\]

• Le PPCM est le produit de tous les facteurs premiers (communs et non communs), chacun affecté de son plus grand exposant.

Les facteurs premiers qui apparaissent sont \(2\), \(3\), \(5\) et \(7\) :

• pour \(2\) : on garde \(2^{3}\) ;
• pour \(3\) : on garde \(3^{2}\) ;
• pour \(5\) : on garde \(5\) ;
• pour \(7\) : on garde \(7\).

\[\begin{aligned} &\mathrm{PPCM}(126\,;360) \\ &= 2^{3} \times 3^{2} \times 5 \times 7 \\ &= 8 \times 9 \times 5 \times 7 \\ &= 2520 \end{aligned}\]

Vérification : on a toujours \(\mathrm{PGCD}(a\,;b) \times \mathrm{PPCM}(a\,;b) = a \times b\). Ici \(18 \times 2520 = 45\,360\) et \(126 \times 360 = 45\,360\).

3) Simplification de la racine carrée

On remplace \(360\) et \(126\) par leurs décompositions :

\[\dfrac{360 \times 7}{126 \times 5} = \dfrac{2^{3} \times 3^{2} \times 5 \times 7}{2 \times 3^{2} \times 7 \times 5}\]

On simplifie par \(3^{2}\), par \(5\) et par \(7\), qui figurent au numérateur et au dénominateur :

\[\dfrac{360 \times 7}{126 \times 5} = \dfrac{2^{3}}{2} = 2^{2} = 4\]

Par suite :

\[\sqrt{\dfrac{360 \times 7}{126 \times 5}} = \sqrt{4} = 2\]

Vérification : \(360 \times 7 = 2520\) et \(126 \times 5 = 630\), et \(2520 = 4 \times 630\).