Multiples et divisibilité d’expressions

Méthode : pour montrer qu’un nombre \(N\) est un multiple de \(d\) (ou que \(d\) divise \(N\), ou que \(N\) est divisible par \(d\)), on l’écrit sous la forme \(N = d \times k\) avec \(k \in \mathbb{N}\).

1) \(6n + 9\) est un multiple de \(3\)

\[\begin{aligned} 6n + 9 &= 3 \times 2n + 3 \times 3 \\ &= 3(2n + 3) \end{aligned}\]

Comme \(2n + 3 \in \mathbb{N}\), le nombre \(6n + 9\) est un multiple de \(3\).

2) \((n + 2)^{2} - n^{2}\) est un multiple de \(4\)

On développe \((n + 2)^{2}\) avec l’identité \((a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}\) :

\[\begin{aligned} &(n + 2)^{2} - n^{2} \\ &= n^{2} + 4n + 4 - n^{2} \\ &= 4n + 4 \\ &= 4(n + 1) \end{aligned}\]

Comme \(n + 1 \in \mathbb{N}\), le nombre \((n + 2)^{2} - n^{2}\) est un multiple de \(4\).

3) \((n + 2)^{2} - (n - 2)^{2}\) est un multiple de \(8\)

On développe les deux carrés :

\[(n + 2)^{2} = n^{2} + 4n + 4\] \[(n - 2)^{2} = n^{2} - 4n + 4\]

On soustrait, en faisant attention aux signes :

\[\begin{aligned} &(n + 2)^{2} - (n - 2)^{2} \\ &= n^{2} + 4n + 4 - n^{2} + 4n - 4 \\ &= 8n \end{aligned}\]

Comme \(n \in \mathbb{N}\), le nombre \(8n = 8 \times n\) est un multiple de \(8\).

4) \(3\) divise \(n^{3} - n\)

On commence par factoriser, avec l’identité \(a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)\) :

\[\begin{aligned} n^{3} - n &= n(n^{2} - 1) \\ &= n(n - 1)(n + 1) \end{aligned}\]

Donc \(n^{3} - n = (n - 1) \times n \times (n + 1)\) : c’est le produit de trois entiers consécutifs.

Le reste de la division de \(n\) par \(3\) est \(0\), \(1\) ou \(2\). Donc \(n\) s’écrit sous l’une des formes \(3k\), \(3k + 1\) ou \(3k + 2\), avec \(k \in \mathbb{N}\). On étudie les trois cas.

1^er cas : \(n = 3k\). Le facteur \(n\) est un multiple de \(3\) :

\[\begin{aligned} n^{3} - n &= 3k(n - 1)(n + 1) \\ &= 3\big[k(n - 1)(n + 1)\big] \end{aligned}\]

2^ème cas : \(n = 3k + 1\). Alors \(n - 1 = 3k\) : le facteur \(n - 1\) est un multiple de \(3\) :

\[\begin{aligned} n^{3} - n &= 3k \times n(n + 1) \\ &= 3\big[k\,n(n + 1)\big] \end{aligned}\]

3^ème cas : \(n = 3k + 2\). Alors \(n + 1 = 3k + 3 = 3(k + 1)\) : le facteur \(n + 1\) est un multiple de \(3\) :

\[\begin{aligned} n^{3} - n &= (n - 1)\,n \times 3(k + 1) \\ &= 3\big[(n - 1)\,n\,(k + 1)\big] \end{aligned}\]

Conclusion : dans les trois cas, \(n^{3} - n = 3q\) avec \(q \in \mathbb{N}\). Donc \(3\) divise \(n^{3} - n\), pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

À retenir : parmi trois entiers consécutifs, il y en a toujours un qui est un multiple de \(3\).

5) \(7n^{2} + 21n + 35\) est divisible par \(7\)

Chaque terme est un multiple de \(7\), car \(21 = 7 \times 3\) et \(35 = 7 \times 5\) :

\[\begin{aligned} &7n^{2} + 21n + 35 \\ &= 7 \times n^{2} + 7 \times 3n + 7 \times 5 \\ &= 7(n^{2} + 3n + 5) \end{aligned}\]

Comme \(n^{2} + 3n + 5 \in \mathbb{N}\), le nombre \(7n^{2} + 21n + 35\) est divisible par \(7\).

6) \((4n - 10)^{2} + 4n + \big[n(n - 1)\big]^{2}\) est divisible par \(4\)

On montre que chacun des trois termes est un multiple de \(4\).

Premier terme :

\[\begin{aligned} (4n - 10)^{2} &= \big[2(2n - 5)\big]^{2} \\ &= 4(2n - 5)^{2} \end{aligned}\]

Deuxième terme : \(4n = 4 \times n\).

Troisième terme : \(n(n - 1) = (n - 1) \times n\) est le produit de deux entiers consécutifs, donc il est pair (pour \(n = 0\), il vaut \(0\), qui est pair). Il existe alors \(k \in \mathbb{N}\) tel que \(n(n - 1) = 2k\), et :

\[\big[n(n - 1)\big]^{2} = (2k)^{2} = 4k^{2}\]

Somme : on met \(4\) en facteur.

\[\begin{aligned} &(4n - 10)^{2} + 4n + \big[n(n - 1)\big]^{2} \\ &= 4(2n - 5)^{2} + 4n + 4k^{2} \\ &= 4\big[(2n - 5)^{2} + n + k^{2}\big] \end{aligned}\]

Le nombre \((2n - 5)^{2} + n + k^{2}\) est un entier naturel. Donc le nombre donné est divisible par \(4\).