Devoir maison n° 1 – Semestre 1 – Version 3

Exercice 1 : Arithmétique dans \(\mathbb{N}\) 8 points

Soit \(n\) un entier naturel.

1) Étudier la parité des nombres suivants :

\[\begin{aligned} &A = 6n + 5 \\ &B = n^{2} + 9n \\ &C = n^{2} + 3n + 7 \end{aligned}\]

2) Montrer que le nombre \(5^{n+2} - 5^{n}\) est un multiple de \(24\).

3) Déterminer le chiffre \(x\) pour que le nombre \(\overline{3x52}\) soit divisible par \(9\). Vérifier qu’il est alors divisible par \(36\).

4) On considère les nombres \(a = 1\,050\) et \(b = 1\,470\).

a) Décomposer \(a\) et \(b\) en produit de facteurs premiers.

b) En déduire \(\text{PGCD}(a\,;b)\) et \(\text{PPCM}(a\,;b)\).

c) Simplifier \(\dfrac{a}{b}\) et \(\sqrt{a \times b}\).

5) Montrer que, si \(n\) est impair, alors \(n^{2} - 1\) est un multiple de \(8\).

Exercice 2 : Calcul vectoriel 7 points

\(ABC\) est un triangle et \(G\) est le milieu du segment \([BC]\). On considère les points \(E\) et \(F\) définis par :

\[\begin{aligned} &\overrightarrow{AE} = -\overrightarrow{AB} \\ &\overrightarrow{AF} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC} \end{aligned}\]

1) Construire une figure convenable.

2) Exprimer le vecteur \(\overrightarrow{EF}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).

3) Montrer que \(\overrightarrow{EG} = \dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\).

4) En déduire que les points \(E\), \(F\) et \(G\) sont alignés.

5) Montrer que \(\overrightarrow{FE} + \overrightarrow{FB} + \overrightarrow{FC} = \vec{0}\). Que représente le point \(F\) pour le triangle \(EBC\) ?

Exercice 3 : Projection dans le plan 5 points

\(ABC\) est un triangle tel que \(BC = 6\) cm. Soit \(E\) le point défini par \(\overrightarrow{AE} = -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\).

On note \(E'\) le projeté de \(E\) sur la droite \((AB)\) parallèlement à la droite \((BC)\).

1) Construire une figure convenable.

2) Montrer que \(\overrightarrow{AE'} = -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\).

3) Montrer que \(\overrightarrow{EE'} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}\), puis calculer la longueur \(EE'\).

4) Soit \(M\) le milieu du segment \([EC]\) et \(M'\) son projeté sur \((AB)\) parallèlement à \((BC)\). Montrer que \(M'\) est le milieu du segment \([E'B]\).

5) Montrer que \(\overrightarrow{AM'} = \dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}\).