Devoir maison n° 1 – Semestre 1 – Version 2

Exercice 1 : Arithmétique dans \(\mathbb{N}\) 8 points

Soit \(n\) un entier naturel.

1) Étudier la parité des nombres suivants :

\[\begin{aligned} &A = (n+3)(n+4) \\ &B = 4n^{2} + 4n + 7 \\ &C = 3n^{2} + n \end{aligned}\]

2) Calculer, selon la parité de \(n\), le nombre \(K = (-1)^{2n+1} + 3(-1)^{n} - (-1)^{n+2}\).

3) Soient \(x\) et \(y\) deux entiers naturels tels que \(x\) est un multiple de \(6\) et \(y\) est impair. Montrer que le nombre \(4x + 12y + 12\) est un multiple de \(24\).

4) On considère les nombres \(a = 1\,260\) et \(b = 1\,386\).

a) Décomposer \(a\) et \(b\) en produit de facteurs premiers.

b) En déduire \(\text{PGCD}(a\,;b)\) et \(\text{PPCM}(a\,;b)\).

c) Simplifier \(\dfrac{a}{b}\) et \(\sqrt{a \times b}\).

5) Déterminer tous les couples \((p\,;q)\) d’entiers naturels tels que \(p + q = 84\) et \(\text{PGCD}(p\,;q) = 12\). On pourra écrire \(p = 12p'\) et \(q = 12q'\), où \(p'\) et \(q'\) sont des entiers naturels premiers entre eux.

Exercice 2 : Calcul vectoriel 7 points

\(ABCD\) est un parallélogramme de centre \(O\). Soit \(E\) le point défini par \(\overrightarrow{AE} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\).

1) Construire une figure convenable.

2) Montrer que \(\overrightarrow{EB} + \overrightarrow{ED} = 2\overrightarrow{EO}\), puis que \(\overrightarrow{EO} = \dfrac{1}{6}\overrightarrow{AC}\).

3) En déduire que \(\overrightarrow{EA} + \overrightarrow{EB} + \overrightarrow{ED} = \vec{0}\).

4) Soit \(M\) le milieu du segment \([AD]\).

a) Exprimer les vecteurs \(\overrightarrow{BE}\) et \(\overrightarrow{BM}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AD}\).

b) En déduire que les points \(B\), \(E\) et \(M\) sont alignés.

5) La droite \((DE)\) coupe la droite \((AB)\) en un point \(F\). Montrer que \(F\) est le milieu du segment \([AB]\).

Exercice 3 : Projection dans le plan 5 points

\(ABC\) est un triangle. Soient \(E\) et \(F\) les points définis par \(\overrightarrow{AE} = \dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BF} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{BA}\).

On note \(E'\) et \(F'\) les projetés respectifs de \(E\) et de \(F\) sur la droite \((BC)\) parallèlement à la droite \((AC)\).

1) Construire une figure convenable.

2) Déterminer les projetés de \(A\) et de \(B\), puis montrer que \(\overrightarrow{CE'} = \dfrac{1}{4}\overrightarrow{CB}\) et que \(\overrightarrow{BF'} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}\).

3) Montrer que \(\overrightarrow{EE'} = \dfrac{3}{4}\overrightarrow{AC}\).

4) Exprimer \(\overrightarrow{EF}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\), puis en déduire \(\overrightarrow{E'F'}\) en fonction de \(\overrightarrow{CB}\).