Devoir maison n° 1 – Semestre 1 – Version 1

Exercice 1 : Arithmétique dans \(\mathbb{N}\) 8 points

Soit \(n\) un entier naturel non nul.

1) Étudier la parité des nombres suivants :

\[\begin{aligned} &A = 2n^{2} + 6n + 9 \\ &B = n^{2} + 5n + 4 \\ &C = n^{3} - n \end{aligned}\]

2) Vérifier que \(C = (n-1)n(n+1)\), puis montrer que \(C\) est un multiple de \(6\).

3) Les nombres \(391\) et \(523\) sont-ils premiers ? Justifier.

4) On considère les nombres \(a = 360\) et \(b = 756\).

a) Décomposer \(a\) et \(b\) en produit de facteurs premiers.

b) En déduire \(\text{PGCD}(a\,;b)\) et \(\text{PPCM}(a\,;b)\).

c) Simplifier \(\dfrac{a}{b}\) et \(\sqrt{a \times b}\).

5) Déterminer tous les entiers naturels \(m\) pour lesquels \(\dfrac{m+14}{m+2}\) est un entier naturel.

Exercice 2 : Calcul vectoriel 7 points

\(ABC\) est un triangle et \(G\) est le milieu du segment \([BC]\). On considère les points \(E\) et \(F\) définis par :

\[\begin{aligned} &\overrightarrow{AE} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB} \\ &\overrightarrow{AF} = -\overrightarrow{AC} \end{aligned}\]

1) Construire une figure convenable.

2) Montrer que \(\overrightarrow{EG} = \dfrac{1}{6}\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\).

3) Exprimer le vecteur \(\overrightarrow{EF}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).

4) En déduire que \(\overrightarrow{EF} = -2\overrightarrow{EG}\), puis que les points \(E\), \(F\) et \(G\) sont alignés.

5) Soit \(x\) un nombre réel et \(M\) le point défini par \(\overrightarrow{AM} = x\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\). Déterminer la valeur de \(x\) pour laquelle le point \(M\) appartient à la droite \((EF)\).

Exercice 3 : Projection dans le plan 5 points

\(ABC\) est un triangle et \(I\) est le milieu du segment \([AB]\). Soit \(E\) le point défini par \(\overrightarrow{AE} = \dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB}\).

On note \(E'\) et \(I'\) les projetés respectifs de \(E\) et de \(I\) sur la droite \((AC)\) parallèlement à la droite \((BC)\).

1) Construire une figure convenable.

2) Montrer que \(\overrightarrow{AE'} = \dfrac{3}{2}\overrightarrow{AC}\).

3) Montrer que \(I'\) est le milieu du segment \([AC]\).

4) Montrer que \(\overrightarrow{EE'} = \dfrac{3}{2}\overrightarrow{BC}\), puis donner la valeur du rapport \(\dfrac{EE'}{BC}\).

5) Soit \(M\) un point du segment \([AB]\) tel que \(\overrightarrow{AM} = x\overrightarrow{AB}\), avec \(0 \le x \le 1\), et \(M'\) son projeté sur \((AC)\) parallèlement à \((BC)\). Montrer que \(\overrightarrow{MM'} = x\overrightarrow{BC}\).